Exo sur le cercle d'Euler et la droite d'Euler d'un triangle

Re bonjour

J'essaie de faire un exercice ayant rapport avec le cercle et la droite d'Euler .

Néanmoins, j'aurais besoin de quelques explications à propos de 4 questions,que je n'arrive pas à démontrer .

J'ai réussi à faire les deux premières, sans problème mais pas les suivantes. Je vous mets l'énoncé :

Soit un triangle ABC non rectangle et non équilatéral.

Soit O le centre du cercle circonscrit.

Soit A' , B' et C' les milieux respectifs des segments [ BC] , [ CA] et [ AB].

Faire une figure qu'on complétera au fur et à mesure .
On considère le point H par : $OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗\small \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

a) Montrer que $AH⃗=2OA′⃗,BH⃗=2OB′⃗,CH⃗=2OC′⃗\small \vec{AH} = 2\vec{OA'}, \qquad \vec{BH} = 2\vec{OB'}, \qquad \vec{CH} = 2\vec{OC'}$
b) En déduire que (AH) est ⊥ à (BC) et que (BH) est ⊥ à (AC)
Que représente alors H pour le triangle ABC ?

*J'ai réussi à faire ces deux questions... Mais à partir de la question 3 ... *

On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].

Montrer que les segments [OH], [IA'], [JB'] et [KC'] ont le même milieu Ω

Montrer que $ΩI⃗=1/2OA⃗,ΩJ⃗=1/2OB⃗,ΩK⃗=1/2OC⃗\small \vec{\Omega I} = 1/2 \vec{OA}, \qquad \vec{\Omega J} = 1/2 \vec{OB}, \qquad \vec{\Omega K} = 1/2 \vec{OC}$

En déduire que les points I, J et K sont sur un même cercle (Γ) de centre Ω

Montrer que $ΩA′⃗=−1/2OA⃗,ΩB′⃗=−1/2OB⃗,ΩC′⃗=−1/2OC⃗.\small \vec{\Omega A'} = - 1/2 \vec{OA}, \qquad \vec{\Omega B'} = - 1/2 \vec{OB}, \qquad \vec{\Omega C'} = - 1/2 \vec{OC}.$

En déduire que les points A' , B' et C' sont aussi sur le cercle (Γ)

Soit G le centre de gravité du triangle. Montrer que O, G et H sont alignés.

*Voila, à partir de cette fameuse question 3, je n'y arrive pas...

Autant pour les deux premières la relation de Chasles était utile mais là,

De plus sur internet, je n'ai jamais trouvé un énoncé comparable à celui là ... :frowning2: *

j'attends (encore :frowning2: ) votre aide avec impatience...

Merci d'avance pour tout

salut
Citation
3) On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH]. Montrer que les segments [OH], [IA'], [JB'] et [KC'] ont le même milieu Ω
des histoires de "même milieu" : il doit se cacher des parallélogrammes là-dedans.

Oui ... Je pense aussi
Mais le problème c'est que je ne sais pas comment utiliser les parallélogrammes pour démontrer ce qui demander dans la question 3)
Si c'est un parallèlogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc ... mais je ne sais pas comment faire

re.

par exemple IOHA' parallélogramme ne doit pas être trop compliqué à montrer.

$AH⃗=2OA′⃗\small \vec{AH} = 2 \vec{OA'}$ montre tout, puisque $AH⃗=2IH⃗\small \vec{AH} = 2 \vec{IH}$

Oui ... Mais je ne vois pas comment on pourrait alors montrer que tous ces segments ont un milieu commun Ω grâce à un parallélogramme !

mais bien sûr que si !

je viens d'écrire en fait que
$IH⃗=OA′⃗\small \vec{IH} = \vec{OA'}$
ce qui prouve que OIHA' est un parallélogramme
donc ses diagonales... etc.

et on recommence avec d'autres parallélogrammes bien choisis.

Ensuite nous pouvons nous placer dans JKB'C'

Sachant que C' milieu de [AB] et B' milieu de [AC]
Et que J milieu de [BH] et k milieu de [CH]

(C'J) // (B'K)
De même pour (C'B') et (JK), elles sont //
Donc JKB'C' est un parallèlogramme donc ses diag. se coupent en leurs milieux ...
Est ce exacte ??

il y a mieux : que peux-tu déduire de
$BH⃗=2OB′⃗\small \vec{BH} = 2\vec{OB'}$

Ben que →JH = →OB'

Et que →2JH = →2OB' = →BH

donc OJHB' ... etc.

sers-toi enfin de la dernière relation de la question 2a).

D'accord.

Alors →CH = →2OC'

Nous pourrions nous placer dans KOC'H ...?

exactement !

K milieu de [CH]
Donc → OC' = →CK = →KH
Donc que →CH = →2OC' = →2KH

Par conséquent KOC'H est un para... et donc ses diagonales (KC') et (OH) se coupent en leur milieu .

Voila
Avons nous encore besoin d'utiliser d'autres parallélogrammes ?

Passons à la question 4) maintenant ...

Pour →ΩI = 1/2 →OA
Alors on sait que →AH = →2IH et donc que I milieu de [AH]
De plus ΩI = 1/2 A'I

dans le triangle HOA, Omega est le milieu de HO et I celui de HA

théorème des milieux : vec OmegaI = 1/2 vec OA

etc. pour les deux autres.

ensuite tu passes aux normes : tu vas voir que OmegaI = OmegaJ = OmegaK en tant que longueurs, car...

Euuh Ω I = Ω J = Ω K car Ω centre du cercle (Γ) ?!

tu prends le pb à l'envers : il faut montrer que Ω I = Ω J = Ω K

et ceci est vrai parce que O est ...

Parceque O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC

Et donc comme O centre du cercle circonscrit au triangle ABC ,

Ω I = Ω J = Ω K ...?

re.

par définition OA = OB = OC = Rayon du cercle circonscrit.

donc les nombres Ω I, Ω J et Ω K sont égaux, cf ||vec OmegaI || = 1/2 ||vec OA|| etc.

rq : ||vec v|| désigne la norme de vec v

j'espère que ça te suffira !

Re. Je n'ai pas très bien compris || vec v ||

Et donc que devons nous répondre à cette question 4 pour avoir bon à cette question ?

Bonsoir,

Pardon, j'ai compris concernant la norme
Et donc pour cette question 4, il faut parler du triangle HOA où Omega est le milieu de HO et I celui de HA et donc que d'après le théorème des milieux : vec OmegaI = 1/2 vec OA, nous faisons la même chose pour les deux autres
Ensuite nous devons parler des normes et d'abord OA , B et C sont égaux car O centre du cercle circonscrit et donc rayons du cercle et donc par conséquent oméga I, J, et K ont la même norme et sont donc égaux . Ai - je bien répondu à la question 4) grâce à cela ?

Alors ? La question 4) ?:frowning2:

Pour la question 5), Comment doit on nous y prendre ?
Et pour la 6) ? :frowning2:

Merci !

pour 4 : ok.

Citation
Pour la question 5), Comment doit
on nousy prendre ?
lol

avec $ΩI⃗=−ΩA′⃗\small \vec{\Omega I} = - \vec{\Omega A'}$ ...

Nous savons que ΩI = 1/2 OA (4)

Et ΩI = ΩA' ( car parallèlogramme HA'OI)
Et donc, ce doit être la même chose, configuration avec les deux autres

Mais pour la 4), comment en déduire que I,J et K sont sur le cercle (Γ)

Et pour la 5) ?

PS: lol pour Comment doit
on nousy prendre ?

la 4 est FAITE.

pour la 5, je viens de te donner une indication ci-dessus.

Nous savons que ΩI = 1/2 OA (4)

Et ΩI = ΩA' ( car parallèlogramme HA'OI)

De plus, ΩJ = 1/2 OB
Il faudrait démontrer que B, Ω et B soit alignés et comme cela, ΩB' serait égale à -1/2 OA ?!

Nous savons que ΩK = 1/2 OC
Mais

Je vais manger je reviens vers 21h

Merci

Je suis là, c'est bon

Alors ? :frowning2:

Que devons nous faire pour finir la 5) ??

Pouvez vous me donner quelques pistes concernant la 6) ? :frowning2:

Merci

J'ai démontré ΩA'
Mais à partir du ΩB', je m'enmèle un peu ... On ne sait pas si ΩA'=ΩB'=ΩC' !

pour 6)

$ΩA′⃗=−1/2OA⃗\small \vec{\Omega A'} = -1/2 \vec{OA}$

signifie que $Ω\small \Omega$ est aux deux tiers de [AA'] à partir de A, c'est-à-dire que $Ω=G\small \Omega = G$ , non ?