resolution d'un systeme ; trouver deux nombres à somme et produit connus

Bonjour, je dois resoudre ce systeme et je ne vois pas du tout comment je dois m'y prendre:

X=cosx et Y=cosy

montrer que X et Y sont les solutions du systeme X+Y=m
X²+Y²=1

Ca fait un systeme a 4 inconnues et je en sais pas du tout comment resoudre ca :s

salut

à condition que m soit un paramètre compris entre -2 et 2.

il t'est demandé de résoudre ce système ?

non, toute la consigne est indiquée dans le premier message

mais je ne vois pas coment resoudre :s

re

X + Y = m
et
X² + Y² = 1

essaie peut-être d'exprimer XY en fonction de m...
[EDIT : XY et pas les carrés, mille excuses]

comme ça tu auras deux nombres X et Y à trouver, connaissant leur somme et leur produit.

je ne comprends pas :s:s:s

Salut,

X + Y = m

(X + Y)² = m²

X² + Y² + 2XY = m²

1 + 2XY = m² (car X² + Y² = 1)

XY = 1/2 (m² - 1)

Le système devient :

X + Y = m
XY = 1/2 (m² - 1)

Mais je ne sais pas si on est plus avancé . . .

Si ça peux te rassurer, je sèche aussi pour l'instant. Réfléchis également de ton coté.

C'est vrai que ce n'est plus vraiment au programme, mais les solutions du système

X + Y = s
XY = p

sont les mêmes que celle de l'équation du second degré t² - st + p = 0

C'est pourtant bien pratique !

Voici donc un complément de cours (... des anciens programmes) :

Deux nombres à somme et produit connus
§ 1 - Condition nécessaire

Soient u et v deux nombres dont le produit est P et la somme S

uv = P et u + v = S.
Alors en multipliant la $2^e$ égalité par u, on a

u² + uv = Su
qui devient, en remplaçant uv par P

u² - Su + P = 0.
Ceci montre que u est nécessairement solution de l'équation x² - Sx + P = 0. On peut voir de même que c'est le cas pour v.

§ 2 - Condition suffisante

Soient u et v les solutions d'une équation x² - Sx + P = 0. Alors on a pour tout x

x² - Sx + P = (x - u)(x - v).
En développant, on a

x² - Sx + P = x² - (u + v)x + uv.
Ceci montre que u+v = S et que uv = P.

§ 3 - Théorème
uv = P et u+v = S ⇔ u, v solutions de x² - Sx + P = 0.
§ 4 - Application numérique

Problème : trouver deux nombres dont la somme est 21 et le produit 54.

Solution : u, v cherchés sont tels que u+v = 21 et uv = 54.

cela revient à trouver les solutions u,v de x² - 21x + 54 = 0.

or le discriminant de ce trinôme est 21² - 4×54 = 225 = 15², donc

u = (21 - 15)/2 = 3 et v = (21 + 15)/2 = 18.

C'est quand même plus rapide que de faire des essais. C'est surtout plus systématique.

Bonsoir Zorro et Zauctore,

Extra ! Merci beaucoup pour ces précisions.

Je n’ai effectivement pas vu cette méthode de résolution, à moins de l’avoir oublié mais j’en doute. Idem pour les formules de Cramer (déterminant) que l’on ne voit pas mais que j’ai "piqué" ici dans les fiches maths.

Je n’ai pas le temps ce soir de m’y pencher, mais dès que possible j’y reviendrai. C’est effectivement très pratique et rapide.

Merci encore et bonne soirée.

si ca peut vous éclairer (et m'éclairer par la meme occasion), je travaille en ce moment sur le cercle trigonometrique.. je ne sais pas si on est plus avancés mais ca explique le X²+Y²=1 en posant X=cosx et Y=sinx mais c'est apeès que je ne vois pas comment faire :s

Dans le premier énoncé tu donnes : Y=cosy ... Cette fois Y=sinx !

C'est vrai qu'on chipotte mais quelle est la bonne égalité ?

Je penche pour la seconde, parce qu'avec la première, t'es pas sortie des ronces ...

milles excuses pour cette erreur. mais je ne suis pas plus avancée je croiis

Salut,

X=cosx et Y=sinx

montrer que X et Y sont les solutions du systeme
| X+Y=m
| X²+Y²=1

Si l’on s’en tient à ton énoncé, il n’y a rien à montrer :

Cos²x + sin²x = 1
Donc X²+Y²=1

Il existe toujours un réel m tel que Cosx + sinx = m donc X + Y = m

Si on te demande d’étudier les valeurs de X et Y en fonction de m, c’est plus lourd.

On avait :

X + Y = m
XY = 1/2 (m² - 1)

Avec la méthode de résolution décrite par Zorro et Zauctore ci-dessus, X et Y sont les solutions de l’équation :

t² - mt + 1/2 (m² + 1) = 0

delta = - m² + 2

Ce discriminant s’annule pour |m| = √2
(Ne pas oublier la valeur absolue, une racine carré est positive)

On discute alors de l’existence des racines en fonction du signe de delta, c’est à dire en fonction de m.

Si |m| < √2 alors le discriminant est négatif, l’équation n’admet aucune solution.
X et Y n’existent pas et x non plus.
Si |m| = √2 alors le discriminant est nul.

2a) Si m = - √2

L’équation admet une solution unique t0 :

t0 = m / 2 = - √2/2

On a alors X = Y = - √2/2

Les solutions sont : x = 5 $p i$ /4 [2 $p i$ ] (ou 5 $p i$ /4 +2k $p i$ avec k ∈ $mathbb{Z}$ si tu n’as pas appris les modulos)

2b) Si m = √2

L’équation admet une solution unique t0’ :

t0’ = m / 2 = √2/2

On a alors X = Y = √2/2

C’est à dire x = $p i$ /4 [2 $p i$ ] ou $p i$ /4 +2k $p i$ avec k ∈ $mathbb{Z}$

Si |m| > √2 alors le discriminant est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes t1 et t2.

| t1 = (m-√(delta)) / 2
| et
| t2 = (m+√(delta)) / 2

X et Y existent bien et on a :

| X = t1
| Et
| Y = t2

Ou

| X = t2
| Et
| Y = t1

Pour m variant de –√2 à √2 :
Delta varie de 0 à 2
t1 varie de –√2/2 à 1
t2 varie de -1 à √2/2

Par ex pour m = 0 :

X = cos x = -√2/2 et
Y = sin x = √2/2 donc x = - $p i$ /4 [2 $p i$ ]

ou

X = cos x = √2/2 et
Y = sin x = -√2/2 donc x = 3 $p i$ /4 [2 $p i$ ]

Voilà comment évoluent X et Y (et donc cosx et sinx) en fonction de m :

On reconnaît une patatoïde régulière (c'est de l'humour, n'écrit pas ça ). Il faut avouer que les maths, c’est rudement bien foutu.

En résumé, X et Y sont solutions du sytème si : -√2 ≤ m ≤ √2

Avec cela, essaie de faire un truc qui tienne debout. Je ne suis pas sûr d’avoir bien compris l’exo :rolling_eyes: . C’est soit trop simple, soit un peu compliqué.

Bon courage pour la suite.

Oui, en effet, ca parait un peu compliqué pour une question dite "question preliminaire" lol
par contre, la question qui suit semble etre en rapport avec la demonstration puisqu'on me demande de montrer que X (rappel: X=cosx) vérifie l'équation E= 2X²-2mX+m-1=0
Puis-je rapprocher cette équation de t² - mt + 1/2 (m² + 1) = 0
et si oui comment???
(merci pour l'aide :D)

En multipliant quelque chose par 2 peut-être !

2(t² - mt + 1/2 (m² + 1))=2t²-2mt+
m²+1

c'est l'expression en rouge qui ne colle pas :s

re-salut

t'as essayé tout bêtement de partir de Y = m - X et de remplacer dans X² + Y² = 1 ?

il me semble que ça donne 2X² - 2mX + m
²- 1=0 après calculs...

salut
tout à fait Zauctore !
jadis on aurait étudié la position des racines par rapport à -1 et 1 ...
@+

Salut,

Zauctore
2X² - 2mX + m
²- 1=0 après calculs...
Effectivement c’est surement m².

vaccin
. . . jadis on aurait étudié la position des racines par rapport à -1 et 1 ...
@+

Excellent ! Je jurerais entendre mon père . . . un ancien bac C des débuts 80.

J’ai justement discuté avec lui de ces systèmes avec produit et somme. Il se rappelle l’avoir fait . . . les formules de Cramer aussi.

Il considère la S un peu comme une fusion des anciens bac D et C. Selon lui, on fait moins de maths mais bcp plus de SVT. La C commençait dès la seconde
à son époque. Il n’y avait pas de spé,
jadis, mais il se souvient avoir fait une grande partie du programme maths spé,
dans le temps.

Il nous suit mon frère (4ème) et moi et se remet au gout du jour au fur et à mesure que j’avance dans le programme. Le pire, c’est que lorsque j’ai un blème, je lui demande . . . et il s’en sort encore le bougre . . . avec sa vieille casio (faut saisir les calculs à l’envers ).

Ouaiiiss nous on pouvait pas tracer les fonctions ! Quand on devait calculer une limite, on ne la connaissait pas d’avance ! ni l’allure de la courbe, ni les asymptotes . . .

S’il savait tout ce que j’ai dans la calculette et qu’elle calcule même les intégrales . . . :razz:

Alors, j’ai vu juste ? . . . nostalgie des anciens bac C/D ?

Désolé de polluer le sujet . . . mais en attendant le retour de slimandchic et la confirmation de la coquille dans l’équation (E).

pas de nostalgie du bac Math-Elem de jadis mais parfois une certaine perplexité devant le nombre actuel de notions à maîtriser quand on a 16-18 ans...
j'arrête là.
@+

Ah ! Faut-il comprendre que vous avez le sentiment qu’aujourd’hui on nous en demande trop ?

J’avais plutôt l’impression (d’après les on-dit) que les anciens programmes étaient plus chargés et aussi que le niveau des élèves est auj moins bon

J'aurais bcp de choses à dire aussi ... si j'avais plus de temps et si cela pouvait servir à qqchose. L'idée directrice serait que l'on pousse les élèves en bac général (ES / S notamment) et que trop nombreux sont ceux qui finissent le bec dans l’eau.

Bref, mieux vaut un bac Z dans la poche qu’un double échec après redoublement dans une filière reine.

tout a fait d'accord.
en ce qui concerne les programmes, j'ai suivi mon petit-fils pour le bac S et je prétends, contre beaucoup, que le bac était plus facile de mon temps,(la q de cours comptait pour 1/3 en faisant un bout du pb on avait la moyenne) mais que la sélection pour y parvenir était différente (compositions, examens de passage,etc...) .Par ailleurs, en phy-chimie c'est bcp plus difficile maintenant et la SVT n'existait pas... on veut que l'élève ait une vague notion de tout un tas de choses, on est trop ambitieux et ensuite on diminue le niveau d'exigences pour faire plaisir...
enfin le tout pour un jeune, c'est de vivre cette année sans qque cela lui suscite des blocages ... bon je termine. vrai cette fois.

Celui qui ne fout rien alors qu’il a tous les moyens à sa dispo, c’est de sa responsabilité, même si c’est con.

Par contre, d’autres, déjà redoublants, font des efforts malgré des conditions matérielles, financières et même familiales désastreuses (faut voir, moi qui vient d’un collège privé). Le bac approche et ça risque d’être un nouvel échec et dans ce cas quel avenir ?

Un bac plus accessible, plus soft, aurait été à leur portée et aurait permis de poursuivre les études. Question d’orientation.

Merci d’avoir pris la peine de répondre et ok, on termine vrai

svp : pensez à slimandchic qui n'est pas vraiment concernée par tout ça. ouvrez un topic dans un autre forum du site si vous voulez poursuivre votre discussion.
merci.