N
il y a environ 17 jours
@Commutateur
Donc la question c'est de déterminer le développement asymptotique de
S(n)=∑k=0n−1ln(n+k)S(n) = \sum_{k=0}^{n-1} \ln(n+k)S(n)=∑k=0n−1ln(n+k),
On peut approximer la somme par une intégrale. Pour kkk variant de 000 à n−1n-1n−1, on considère l'intégrale :
∫0nln(n+x) dx\int_0^n \ln(n+x) \ dx∫0nln(n+x) dx
On effectue un changement de variable en posant u=n+xu = n + xu=n+x, d'ou du=dxdu = dxdu=dx et les bornes changent de x=0x=0x=0 passe à u=nu=nu=n et x=nx=nx=n passe à u=2nu=2nu=2n.
∫n2nln(u) du\int_n^{2n} \ln(u) \ du∫n2nln(u) du.
Or ∫ln(u) du=uln(u)−u+C\int \ln(u) \ du = u \ln(u) - u + C∫ln(u) du=uln(u)−u+C.
∫n2nln(u) du=[uln(u)−u]n2n=(2nln(2n)−2n)−(nln(n)−n)\int_n^{2n} \ln(u) \ du = \left[ u \ln(u) - u \right]_n^{2n} = \left( 2n \ln(2n) - 2n \right) - \left( n \ln(n) - n \right)∫n2nln(u) du=[uln(u)−u]n2n=(2nln(2n)−2n)−(nln(n)−n).
$\int_n^{2n} \ln(u) \ du= 2n \ln(2n) - 2n - n \ln(n) + n= 2n (\ln(2) + \ln(n)) - 2n - n \ln(n) + n= (2n \ln(2) + n \ln(n) - n).
Conclusion
∫0nln(n+x) dx∼nln(n)+2nln(2)−npour n→∞\int_0^n \ln(n+x) \ dx \sim n \ln(n) + 2n \ln(2) - n \quad \text{pour } n \to \infty∫0nln(n+x) dx∼nln(n)+2nln(2)−npour n→∞
Comme la somme S(n)S(n)S(n) est approximativement égale à cette intégrale,
S(n)∼nln(n)+2nln(2)−nS(n) \sim n \ln(n) + 2n \ln(2) - nS(n)∼nln(n)+2nln(2)−n.
Le développement asymptotique de S(n)S(n)S(n) est :
S(n)∼nln(n)+2nln(2)−nS(n) \sim n \ln(n) + 2n \ln(2) - nS(n)∼nln(n)+2nln(2)−n.