@Jahir-Ibrahim, je te donne quelques indications pour les questions suivantes, si besoin.
Pour montrer par récurrence que pour tout n appartient N*,
Un≥1U_n\ge 1Un≥1, je te laisse faire en détail.
Piste,
U1=4U_1=4U1=4 donc Un≥1U_n\ge 1Un≥1
En supposant que Un≤1U_n\le 1Un≤1, c'est à dire Un−1≤0U_n-1\le 0Un−1≤0 avec la formule trouvée à la question précédente, il est très simple de prouver que Un+1−1≤0U_{n+1}-1\le 0Un+1−1≤0, c'est à dire Un+1≤1U_{n+1}\le1Un+1≤1
Pour trouver le sens de variation de (Un)(U_n)(Un), tu as dû conjecturer, avec les valeurs de U2,U3,U4U_2,U_3,U_4U2,U3,U4, que (Un)(U_n)(Un) est décroissante.
Pour faire la démonstration générale, tu détermines le signe de Un+1−InU_{n+1}-I_nUn+1−In
Piste,
Un+1−Un=n2(n+1)Un+n+22(n+1)−UnU_{n+1}-U_{n}=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n+\dfrac{n+2}{2(n+1)}-U_nUn+1−Un=2(n+1)nUn+2(n+1)n+2−Un
En regroupant les termes contenant UnU_nUn :
Un+1−Un=Un[n2(n+1)−1]+n+22(n+1)U_{n+1}-U_{n}=U_n\biggl[\dfrac{n}{2(n+1)}-1\biggl]+\dfrac{n+2}{2(n+1)}Un+1−Un=Un[2(n+1)n−1]+2(n+1)n+2
Après calculs, tu dois trouver sauf erreur
Un+1−Un=n+22(n+1)[1−Un]U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\biggl[1-U_n\biggl]Un+1−Un=2(n+1)n+2[1−Un]
Connaissant le signe de 1−Un1-U_n1−Un, le signe de Un+1−UnU_{n+1}-U_{n}Un+1−Un est très simple à trouver d'où la conclusion souhaitée.
Bon travail.