Etudier des fonctions avec logarithme népérien

Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul
A tout n entier non nul on associe la fonction f définie sur ]-1;+infini[ intervalle ouvertes

$f$ _n $x)=x^n$ *ln(1+x)

1/ Soit $h_n$ (x) la fonction définie ]-1, +infini[ par:
$h_n$ (x)=n ln(x+1)+(x/(1+x))

étudier le sens de variation.
En utilisant la valeur de $h_n$ (0), déterminer le signe de $h_n$ (x) sur ]-1, +infini[ .

2/a) Pour tout x appartenant a ]-1;+infini[, vérifier que f'$$_1$(x)=h_1$(x)

et que pour tout n strictement supérieur à 1: f'$$_n$(x)=x^{n-1}$ $h_n$ (x)

b)on suppose n impair.Pour tout x appartenant à ]-1, +infini[, justifier que f' $_n$ (x) et $h_n$ (x) sont de même signe, dresser le tableau de variation de la fonction $f_n$ (x), lorsque n est impair, en précisant ses limites en -1 et +infini.
c) on suppose n pair. Dresser le tableau de variation de la fonction $f_n$ (x), lorsque n est pair, en précisant ses limites en -1 et +infini.

Etudier la position relative des courbes $C_1$ et $C_2$

On désigne par $C_n$ la courbe représentative de $f_n$ (x).

j'ai fait h'n(x) = (x/(1+x)) + (1+x-x)/((1+x)²) = x(x+1) + 1 / ((x+1)²) = x²+x+1 / ((x+1)²)

comme h'n(-1) =1 alors x²+1+x >0 sur ]-1,+infini[ donc hn(x) est croissant.

hn(0)=0 donc hn(x) est positif sur [0,+infini[ et c'est négatif sur ]-1,0].

2)a) fn'(x)=(x^n)' ln(1+x) +x^n(ln(1+x)')
= nx^(n-1) ln(1+x)+(x^n/(1+x))
= x^(n-1) hn(x)
si on prend n=1 on a f'1(x)=x^0 h1(x)=h1(x)

b)c) 3)a) je n'en sait rien
aidez moi svp
merci d'avance

Quel est le signe du quotient f'n(x) sur hn(x) ? Sous quelles conditions un quotient est-il de ce signe ?

Quel est le signe d'un réel à la puissance positive ? Si ça peut t'aider, écris différemment x^(2y).

Que vaut C1 - C2 ?

Déjà j'aimerai savoir si ce que j'ai écrit est bon

j'ai fait h'n(x) = (x/(1+x)) + (1+x-x)/((1+x)²) = x(x+1) + 1 / ((x+1)²) = x²+x+1 / ((x+1)²)

comme h'n(-1) =1 alors x²+1+x >0 sur ]-1,+infini[ donc hn(x) est croissant.

hn(0)=0 donc hn(x) est positif sur [0,+infini[ et c'est négatif sur ]-1,0].

2)a) fn'(x)=(x^n)' ln(1+x) +x^n(ln(1+x)')
= nx^(n-1) *ln(1+x)+(x^n/(1+x))
= x^(n-1) *hn(x)
si on prend n=1 on a f'1(x)=x^0 h1(x)=h1(x)

b) Si n est impair alors n-1= 2k
donc f'n(x)=x^2k * hn(x)
comme x^2k est toujours positif alors f'n(x) dépend du signe de hn(x)
donc f'n est négatif sur ]-1,0[ et positif sur [0, +infini[
donc f est croissant sur [0, +infini[ et décroissant sur ]-1,0[
par contre les limite je sais pas comment faire

c) Si n est pair alors n-1=2k+1
donc f'n(x)=x^(2k+1) * hn(x)
comme x^2k+1 est toujours positif si x [0; +infini [ et si n [0;+infini[ alors f'n(x) dépend du signe de hn(x)
donc f'n est négatif sur ]-1,0[ et positif sur [0, +infini[
donc f est croissant sur [0, +infini[ et décroissant sur ]-1,0[

et pour C1 -C2 je ne voit pas comment faire

esque tout mon raisonnement est bon???? si non corriger moi svp

Pourquoi tu utilises h'n(-1) ?
Pourquoi tu prends n=1 ensuite ? Une vérification ?
Pour la c), jcrois que tu dois le faire pour tout x entre -1 et +∞.

Sinon le raisonnement me paraît correct, attention à la rédaction.

étudier le sens de variation.
En utilisant la valeur de hn(0), déterminer le signe de hn(x) sur ]-1, +infini[ .

h'n(-1) n'est donc pas intéréssent a ce que je comprend il suffit juste de dire que hn(0)=0 donc hn(x) est positif sur [0,+infini[ et c'est négatif sur ]-1,0].

est-ce que h'n(x) = (x/(1+x)) + (1+x-x)/((1+x)²) = x(x+1) + 1 / ((x+1)²) = x²+x+1 / ((x+1)²)
est juste????????

ensuite je prend n=1 car il faut montrer que f'$$_1$(x)=h_1$(x)

c) j'ai remarque que n pair alors n-1 est négatif sur ]-1,0[ et positif sur [0, +infini[
x^(n-1) est négatif sur ]-1,0[ et positif sur [0, +infini[
donc f'n(x) est positif sur les deux intervalle

C2-C1 = f2(x)-f1(x)= x² ln(3) -x ln(2)= x(x ln(3)-ln(2))= x² ln (3/2) >0
donc f2(x)-f1(x)>0 donc f2(x)> f1(x)

c'est bien cela pouvez vous vérifier svp

Oula, grosse erreur de ma part, pardon, on écrit pas C2 - C1, ce sont des courbes ça n'a pas vraiment de sens. Ok, je vois pour le n=1.

"n pair alors n-1 positif sur [0, +infini[" Prend n=0 et tu verras que c'est faux.

Dans ton calcul, comment ton x/(1+x) se transforme en x(x+1) ?

pour le 3 je met juste f2(x)-f1(x)= x² ln(3) -x ln(2)= x(x ln(3)-ln(2))= x² ln (3/2) >0
donc f2(x)-f1(x)>0 donc f2(x)> f1(x) mais est ce que c'est bon???,

pour le calcul j'ai fait en faite tt sur le mm dénominateur en faite c'est (x(x+1) +1) / ((x+1)²) voila désolé c'été une erreur
esque cela est bon???

n pair alors n-1 positif sur [0, +infini[" Prend n=0 et tu verras que c'est faux.
on dit au depart que n ne peut pas etre égale a 0 et que c'est un entier naturel en faite c'est positif sur ]0, + infini[

est ce que c'est bon???

h'n(x) = (x/(1+x)) + (1+x-x)/((1+x)²) = x(x+1) + 1 / ((x+1)²) = x²+x+1 / ((x+1)²)
est juste????????

Ca me va mieux, même si tes parenthèses sont douteuses.