Conclusions pour consultation éventuelle
1er cas : x∈]−∞,−23]x\in \biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]x∈]−∞,−32]
g est définie, dérivable donc continue et strictement décroissante donc bijective de de ]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]]−∞,−32] vers [−2318,+∞[\biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[[18−23,+∞[
0∈[−2318,+∞[0\in \biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[0∈[18−23,+∞[ donc 0 a un antécédent unique dans ]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]]−∞,−32]
L'équation g(x)=0 a donc une solution unique dans ]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]]−∞,−32]
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de I
2ème cas : x∈]−23,+23[x\in \biggl]\dfrac{-2}{3},+\dfrac{2}{3}\biggl[x∈]3−2,+32[
même principe.
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de J
3ème cas : x∈[23,+∞[x\in\biggl[\dfrac{2}{3},+\infty\biggl[x∈[32,+∞[
même principe.
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de K
D'ou la réponse demandée
Graphique relatif à g :
Remarque : Utiliser la fonction g pour étudier g(x)=0 est clair.
ll est bien sûr tout aussi possible de faire le même raisonnement en utilisant la fonction f pour étudier f(x)=1/2.
C'est une question de goût personnel...
Graphique relatif à f :
