Preuve par induction ou preuve par récurrence

Bonjour(ou bonsoir),
Voilà, je suis du Québec, mais je suis tombé sur ce forum et il m'a semblé le plus intéressant, alors j'espère que je me trouve dans le bon niveau scolaire pour cette question.
Je me prépare depuis quelques jours à un contrôle de math que je dois passer au cours de la prochaine semaine. Je suis tombée sur un problème qui sera sans doute posé dans l'examen (l'enseignant nous a dit que ce problème allait peut-être se retrouver dans les copies du contrôle). Par contre, depuis le début de mon étude et de ma révision, je ne suis pas arrivée à résoudre ce problème et j'aimerais avoir une piste pour y arriver.
C'est une preuve par induction(ou récurrence que ça peut s'appeller je crois) en 3 étapes.
1)Si n=1
2)Si n= K (hypothèse d'induction)
3)Si n= K+1

On doit démontrer que :

$dx^n$ ÷dx = $nx^{(n-1)}$
Je connais la formule mais je n'arrive pas à comprendre comment commencer la troisième étape avec l'induction.

Merci à l'avance de votre aide

Salut,

C'est un peu bizarre comment tu formules les 3 étapes du raisonnement par récurrence. En fait voici les 3 étapes comme nous les connaissons en France (en Terminale S effectivement) :

Vérifier que la propriété à démontrer au vraie pour n=1
Montrer l'implication (en gras) : SI la propriété est vraie pour n=k fixé ALORSelle sera vraie aussi pour n=k+1.
(ce qu'il faut prouver dans cette étape c'est le "SI .... ALORS")
Conclusion : si les 2 étapes précédentes sont vérifiées alors la propriété est vraie pour tout n entier à partir de n=1

Dans la démonstration que tu proposes, il faut quand même connaître la dérivée d'un produit de 2 fonctions u et v :
$d(uv)dx=dudx.v+u.dvdx\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}.v+u.\frac{dv}{dx}$

Nous vérifions que la propriété
$dxndx=n.xn−1\frac{dx^n}{dx}=n.x^{n-1}$ est vraie pour n=1 c'est à dire :
$dx1dx=1.x1−1=1\frac{dx^1}{dx}=1.x^{1-1}=1$ . La propriété est bien vérifiée pour n=1
Pour démontrer le "SI ... ALORS" nous allons supposer que la propriété est vraie pour n=k (hypothèse de récurrence). Démontrons alors, à l'aide de la formule de la dérivée d'un produit, que nous pouvons en déduire que la propriété se vérifie aussi pour n=k+1.

$dxk+1dx=d(xk.x)dx\frac{dx^{k+1}}{dx}=\frac{d(x^k.x)}{dx}$
$\frac{dx^k}{dx}.x+x^k.\frac{dx}{dx}$ (utilisation de la dérivée d'un produit)
$k.x^{k-1}.x+x^k.1$ (utilisation de l'hypothèse de récurrence)
$k.x^{k}+x^k$ (réduction)
$k+1).x^{k}$ (factorisation)
La dernière ligne nous permet d'affirmer que la propriété est vraie pour n=k+1.

Nous pouvons conclure que pour tout n
$dxndx=n.xn−1\frac{dx^n}{dx}=n.x^{n-1}$

J'espère que c'est assez clair, sinon je suppose qu'on pourra répondre à tes questions ...
A+

salut

je te montre déjà comment faire dans le cas particulierqui t'intéresse :

1° tu "fondes" l'induction (la récurrence), c'est-à-dire que tu vérifies que la formule proposée est vraie pour une petite valeur de n, ici en l'occurrence pour n = 1

tu as d'une part
$dx1dx=1\frac{\text{d}x^1}{\text{d}x} = 1$
et d'autre part
$1x^{(1-1)} = 1$
c'est le même résultat et la formule est donc vraie pour n=1.

*2° tu fais l'hypothèse de récurrence (d'induction), à savoir que tu supposes la formule vraie au rang n≥1, et qu'à partir de cette supposition, tu essaies de montrer que la formule est vraie au rang suivant, ie n+1. cela s'appelle montrer l'hérédité de la formule (transmission d'un rang au rang suivant). *

supposons donc vraie pour un certain n≥1 la relation
$dxndx=nx(n−1)\frac{\text{d}x^n}{\text{d}x} = nx^{(n-1)}$
et montrons qu'alors la relation suivante est vraie :
$dxn+1dx=(n+1)x(n+1−1)\frac{\text{d}x^{n+1}}{\text{d}x} = (n+1)x^{(n+1-1)}$

ici tu dois comparer les résultats, d'une part de
$\frac{\text{d}x^{n+1}}{\text{d}x$
et d'autre part de
$n+1)x^{(n+1-1)}$

la seconde est
$(n+1)x(n+1−1)=(n+1)×xn(n+1)x^{(n+1-1)} = (n+1)\times x^n$
c'est le but à atteindre.

pour la première, tu utilises la définition :
$\frac{\text{d}x^{n+1}}{\text{d}x} = \frac{\text{d}(x\times x^{n})}{\text{d}x$
pour obtenir une autre expression du premier membre en te servant de la relation
$dxndx=nx(n−1)\frac{\text{d}x^n}{\text{d}x} = nx^{(n-1)}$
qui joue un rôle essentiel à un moment donné.

la formule de dérivation d'un produit donne
$dxn+1dx=dxdx×xn+x×dxndx\frac{\text{d}x^{n+1}}{\text{d}x} = \frac{\text{d}x}{\text{d}x}\times x^n + x \times \frac{\text{d}x^n}{\text{d}x}$
or maintenant si tu remplaces
$dxndx\frac{\text{d}x^n}{\text{d}x}$
par
$nx^{(n-1)}$

c'est là le rôle joué essentiel par l'hypothèse d'induction !
tu obtiens
$dxn+1dx=1×xn+x×nx(n−1)=xn+nxn=(n+1)xn\frac{\text{d}x^{n+1}}{\text{d}x} = 1\times x^n + x \times n x^{(n-1)} = x^n + n x^n = (n+1) x^n$
QED.

ainsi la relation est vraie au rang (n+1).

La conjonction de 1° et 2° montre donc en vertu du principe d'induction que la formule
$dxndx=nx(n−1)\frac{\text{d}x^n}{\text{d}x} = nx^{(n-1)}$
est vraie pour tout n.

Maintenant d'un point de vue qualitatif, c'est un peu comme une cascade de dominos : tu fais tomber le premier, et tu sais que la chute d'un domino entraîne celle du suivant : alors tous les dominos tombent.
la formule est vraie au rang 1, et tu sais qu'elle est vraie lorsqu'on passe d'un rang au rang suivant : la formule sera vraie donc au rang 2. mais alors elle sera aussi vraie au rang suivant, ie 3 : elle est donc vraie au rang 3, etc.

Thierry j'ai posté qd même derrière toi : j'avais commencé en même temps que toi et c'est un peu de travail quand même, pas eu le courage d'effacer !

2 explications valent mieux qu'une