fonction paire et impaire

voila j'ai un dm , où il y a plusieur fonctions ,et on doit dire lesquelles sont paires et impaires , et il ya 7 fonctions , j'aurais juste voulu savoir comment on trouve cela , car j'ai pas compris l'explication donnée du dm !

1)f(x) = 3x

2)f(x) = 3x - 1

je veux juste savoir comment faire c'est pour ça que je mets pas toutes les fonction merci

Soit f une fonction. On note Df son domaine de définition.

La fonction f est PAIRE si pour tout x dans Df :
-x est dans Df et f(-x)=f(x)

La fonction f est IMPAIRE si pour tout x dans Df :
-x est dans Df et f(-x)=-f(x)

La première chose à faire pour vérifier qu'une fonction est paire ou impaire est donc de regarder son domaine de définition. Ici, les deux fonctions que tu donnes en exemple sont définies partout (c'est-à-dire sur l'ensemble des nombres réels). Pas de problème à ce niveau-là, donc.

La seconde chose à faire est de calculer f(-x), et de le comparer à f(x). Si cette comparaison ne te paraît pas évidente, c'est très légitime, tu peux calculer f(x)-f(-x) (=0 pour tout x si f est paire) et f(x)+f(-x) (=0 pour tout x si f est impaire).

Prenons f(x)=3x.
f(-x)=-3x=-f(x) donc...?

Maintenant f(x)=3x-1
f(-x)=-3x+1 donc ...?

Un petit exercice pour mieux comprendre : existe-t-il des fonctions définies sur l'ensemble des réels, qui soient à la fois paires et impaires ? Si oui, lesquelles ?

donc ben la fonction f(x)=3x est impaire car 3x - - 3x sa donne 3x + 3x = 6x ! mais 3x + - 3x = 3x - 3x = 0

et f(x) = 3x + 1 est aussi impaire pour meme raison que la 1ere

heu...... pour ta question je pense a 0 ?

les fonction carré et absolue sont toujours pair et cube et inverse toujours impaires ? en regardant les autres fonctions et comme tu m'a dit j'ai conclus cela

ton affirmation est vraie sert toi des regles pour que une fonction soit paire il faut que le Df soit centré en 0 tu calcule f(x) si c'est egale à f(-x) aors la fonction est paire
une fonction est impaire si Df est centré en 0 et si f(-x)=-f(x)
voilà
retrouve les resultats tout seul
@+

petit probleme : f(x)=5x Df=[0;4]

f(-x)=-5x=-f(x) donc impaire sur R mais quand il y a un intervalle je fais comment ?

là tu as donné une condition necessaire pour qu'une fonction soit impaire mais cette condition n'est pas suffisante il faut que Df soit centré en 0 or ici il n'est pas centré en 0 donc ta fonction en peut pas etre impaire

donc elle est ni paire ni impaire alors ? fonction centré sur 0 c'est quoi ? jamais entendu

ce n'est pas fonction centré en 0 c'est l'ensemble de definition dejà celà veut dire qu'il y a autant d'elements d'un coté de 0 que de l'autre IR est par definition cetré en 0 mais si par exemple tu as comme Df ]-inf/ ;-1[U]-1;1[U]1;+inf[ ton Df est centré en 0 car tu as "enlevé" un nombre et son opposé
tu comprends?

oui je comprends merci !

voilà et enfait une des consequences que ta fonction est impaire est que l'origine des axes est le point de symetrie de ta courbe or ici si tu traces ta courbe sur [0;4] tu verras qu'elle n'est pas symetrique par rapport à O
voilà mais ça c'est une consequence ça veut dire que tu peux pas t'en servir dans une demonstration

ouai si elle est pair c'est axe par rapport a l'ordonné . non elle n'est pas symetrique par rappor a O ni par rapor a l'axe des ordonné donc ma fonction n'est ni paire ni impaire?

Oui mais alors la fonction est paire car son Df n'est pas centre sur 0 ? non ?

non ta fonction n'est paire ni impaire
et pour repondre à nati la fonction ne peut pas etre pair car dejà l'ensemble de definition n'est pas centré en 0 et puis moimm à demontrer qu'avant f(-x)=-f(x) il est alors impossible que f(x)=f(-x) parce que dans ce cas là tu est entrain de dire que f(x)=-f(x) ce qui est totallement absurde donc ici ta fonction n'est ni paire ni impaire sur ton intervalle donné

une fonction est ni paire ni impaire si sa courbe n'a pas d'axe de symetrie ? vu qu'elle en a pas sur cet intervalle donc elle n'est pas paire ni impaire?

Donc cette fonction est ??
merci

ok merci beaucoup de ces explications

ouai si elle est pair c'est axe par rapport a l'ordonné . non elle n'est pas symetrique par rappor a O ni par rapor a l'axe des ordonné donc ma fonction n'est ni paire ni impaire?

fais attention à ton message je viens de te dire qu'on en peut pas utiliser les symetries pour prouver qu'une fonction est paire ou impaire c'est les consequance et tu en peux pas t'en servir ici la fonction n'est ni paire ni impaire car son Df n'est pas centré en 0 voilà la reponse finale

ok , donc une fonction est paire si et seulement si :
x est sur df et que f(-x)=f(x) et que df soit centré sur 0

une fonction est impaire si et seulement si :
x est sur df et que f(-x)=-f(x) et que df soit centré sur 0
voila merci

voilà tu as tout compris

petit probleme a la question 2 !

soit f(x) = (x + 1) / ( x - 2) !

a) definir df , lensemble de definition
representer la courbe sur votre calculatrice. la courbe cf presente elle des element de symetrie?
donc ben ensemble c R sauf -1 et 2
et oui y a un axe de symetre le point O vu que c'est fonction inverse .

equation de Cf dans (o i j) est : y=f(x) ! b + Y = f(a+X) ! Y=f(a+X)-b ! soit g la fonction definie par g(x)=f(a+X)-b!

b) soit A(-2 ;1) dans le repere (o i j). Verifier que x = -2 + X et y= 1 + Y sont les formules de changements de repere.
Remplacer x et y par leurs expressions en fonction de X et Y dans l'equation de cf dans (o i j) et en deduire Y=g(x) de la courbe cf dans le repere (a i j). remarque : cf = cg

ben voila je comprends pas tro la b) x = a + X et y = b + Y

je remplace donc : Y =f ( -2 + x + 2 )-1 et Y = f(x)-1 et comme y = b + Y cela donne y = f(x)

pour la a) je ne suis pas d'accord avec toi la seule valeur dite interdite est 2 si x=-1 alors f(x)=0
donc il n'y a que -1 comme valeur interdite revois donc cette question d'abord

moi je pense que paire est multiple de 2 !!

ouai c'est ce que je pensais merci

la prof c'est trompé c'est soit f(x) = (x + 1) / ( x + 2) !

a) definir df , lensemble de definition
representer la courbe sur votre calculatrice. la courbe cf presente elle des element de symetrie?
donc ben ensemble c R sauf - 2
et oui y a un axe de symetre le point O vu que c'est fonction inverse .

equation de Cf dans (o i j) est : y=f(x) ! b + Y = f(a+X) ! Y=f(a+X)-b ! soit g la fonction definie par g(x)=f(a+X)-b!

b) soit A(-2 ;1) dans le repere (o i j). Verifier que x = -2 + X et y= 1 + Y sont les formules de changements de repere.
Remplacer x et y par leurs expressions en fonction de X et Y dans l'equation de cf dans (o i j) et en deduire Y=g(X) de la courbe cf dans le repere (a i j). remarque : cf = cg

ben voila je comprends pas tro la b) x = a + X et y = b + Y

je remplace donc : Y =f ( 2 + x - 2 )-1 et Y = f(x)-1 et comme y = b + Y cela donne y = f(x)
donc j'aurais voulu savoir si ce que j'ai fais en b) est juste. merci

a)
S'il y a un centre de symétrie, c'est en (-2 ; 1), pas en O.

Pour la suite,
je te montre une ruse de sioux (on va faire apparaître le dénominateur au numérateur, avec un "terme correctif", bien sûr)
(x+1)/(x+2) = (x+2 -2 + 1)/(x+2)
c'est clair.
ensuite, on sépare la somme de fractions
(x+2 -2 + 1)/(x+2) = (x+2)/(x+2) - 1/(x+2) = 1 - 1/(x+2).

On a donc y = 1 - 1/(x+2), c'est-à-dire
(Relation 1) y+1 = -1/(x+2).

Alors ici, on pose Y = y+1 et X = x+2.
la relation 1 devient donc
(Relation 2) Y = -1/X.

On a fait un changement d'origine pour le repère ; la nouvelle origine est en A(-2 ; 1)
La courbe reste la même, mais son équation est sensiblement différente d'un repère à l'autre : la relation 1 pour le repère d'origine O, et la relation 2 pour le rpère d'origine A. Dans ce deuxième repère, les propriétés de la fonction inverse permettent l'étude de la courbe considérée.

ah ok merci bcp, on peut faire aussi :

x= 2 + X

1 + Y = (x+1)/(x+2)

Y = (x+1)/(x+2) - 1 <=> (x+1)/(x+2) - 1(x+2)/(x+2)
= (x + 1 - x -2 ) / (x+2)
=- 1 /(x+2)
=-1/X