Résoudre une équation comportant la fonction logarithme népérien

Bonjour a tous,
Encore un nouveau sur le forum eh oui !
Voila ayant arreté les cours depuis plusieurs années, je me remet à ma matière préferé afin d'obtenir mon DAEU (équivalent Bac) qui a lieu mi-avril.
Il ne me reste plus que les maths a validé et c'est pour cette raison que je viens demander votre aide.
A savoir que j'étudie seul, je n'ai pas de cours, ni de prof et donc que c'est TRES DUR!!
Je fais cela via le CNED (pour le peu qu'ils sont efficace...) par correspondance.

Avant de rentrer dans les débats, le niveau que demande mon examen n'est pas aussi approndi que ce que l'on étudie en classe.
Je n'ai pas dans mes équations de tan,cos,sin et encore moin de géometrie.
Mon examen se base uniquement sur les logarithmes et exponentielles qui ne sont pas trop compliqué d'après les professeurs.

Mais fini de discuter avec ma vie, voici mon premier problème:

Dans l'équation:

ln(x-1) (x+1) - ln(x+7) = ln (ln e)

Donc j'étudie mon domaine de définition et je trouve: (je ne met pas les détails)
Df: ]-7 ; -1[ U ]1 ; +oo[

Ensuite j'applique les règles de ln:
c'est a dire
ln(xy) -> ln x + ln y
Mais je vois qu'il y a aussi une soustraction et que la règle ln donne:
ln (y/x) = ln y - ln x

Donc je pense que ca donnerai au final:
(ln(x-1) + ln(x+1) )/(ln x + 7) = ln 1 (car ln e = 1)

Ensuite je fais disparaitre les ln en mettant les "exp" et quand je resoud l'équation je ne tombe pas sur le même résultat que mon corrigé (qui ne possède que les réponse, et pas les détails, vive le CNED !)

J'ai pourtant appliqué les formules et je ne vois pas d'ou proviendrai mon erreur...
Je ne pense pas avori fait une faute de calcul...

Bonjour : garde un seul logarithme :
ln[(x+1)(x-1)/(x+7)] = ln 1 ( = 0 )

Je ne comprend pas pourquoi tu n'applique pas la règle
ln(xy) -> ln x + ln y

et pourquoi tu appliques uniquement celle ci:
ln (y/x) = ln y - ln x

???

Pour avoir
un seullogarithme : sinon , comment passer aux exponentielles ?
Attention , ta réponse précédente
Citation
(ln(x-1) + ln(x+1) )/(ln x + 7)était fausse : on divise les quantités sous logarithmes , pas les logarithmes eux-mêmes .

ah bah voila d'ou venait mon erreur, je comprend maintenant...

Mais alors autre hic:
ln[(x+1)(x-1)/(x+7)] = 0

Ce qu'il y a en dessous, je le passe de l'autre coté (x+7) et donc puisque c'est multiplié par 0 cela donne
ln[(x+1)(x-1)] = 0(x+7) -> ln[(x+1)(x-1)] = 0
Non ?

Il est plus simple d'avoir ln[AB/C] que d'avoir
lnA + lnB - lnC quand on passe aux exponentielles , mais bien sûr , cela revient au même .

Apophis
ah bah voila d'ou venait mon erreur, je comprend maintenant...

Mais alors autre hic:
ln[(x+1)(x-1)/(x+7)] = 0

Ce qu'il y a en dessous, je le passe de l'autre coté (x+7) et donc puisque c'est multiplié par 0 cela donne
ln[(x+1)(x-1)] = 0(x+7) -> ln[(x+1)(x-1)] = 0
Non ?
Aïe :
le (x+7) n'est pas "libre" : il est sous le logarithme , on ne peut donc pas faire ce que tu as fait .
Partant de ln[(x+1)(x-1)/(x+7)] = 0 , prends les exponentielles des deux membres .

très bien, donc j'arrive au final à:
[(x+1)(x-1)/(x+7)] = 1

Par contre cette fois ci, puisque les ln ont disparu, je peux faire passer le dénominateur de l'autre coté c'est bien ca ?
Ce qui donnerai:
(x-1)(x+1)= (x+7)
qui se résulte par la suite: x²-x-8=0
on applique delta (désolé de mes thermes, j'ai oublié depuis le temps)

et j'arrive a: x': (1-√33)/2 et x'': (1+√33)/2
Le résultat me semble bizzare puisqu'il n'est pas tout rond, j'ai du faire une erreur qq part non ?
Merci d'avance !

Aucune raison que le résultat soit "tout rond" ( entier ?)
Par contre , avant de conclure , tu dois t'assurer que les valeurs trouvées sont bien dans l'ensemble Df .

Merci de ton aide mathtous !!!
Jai encore 20 petites minutes avant d'aller travailler j'en profite donc pour bosser un peu mes cours ^^
Concernant l'étude de fonction, je bloque dès la première question:

trouver l'ensemble de définition de:
(je ne sais pas comment mettre les exponentielle par informatique, donc exponentielle de x = "exp x" dsl si ce n'est pas clair !)
f(x)= (exp x - 2)/(exp x +1)

Moi je dirai que, puisque une exponentielle et defini sur ]-oo ; +oo[ alors Df : R ???
Si ma logique est bonne, à chaque fois qu'il y a une exponentielle comme dénominateur, si l'on cherche le Domaine de Définition, se sera tjrs le même non ?

PS: qui est hors sujet, mais dont j'ai un doute:
On a le droit de faire: ln x² -> 2 ln x
alors que la même propriété avec les exponentielle ne marche pas ?
exp x² ≠ 2 exp x mais = exp 2x c'est bien ca ?
J'ai un gros doute la dessus, je me mélange les pinceaux...

Bonjour ,
Pour la première question , il faut que le dénominateur ne soit pas nul .
Ici , pour $e^x$ + 1 , il ne l'est pas car pour x réel , l'exponentielle est toujours positive .
Mais si le dénominateur avait été $e^x$ - 1 , il aurait fallu exclure 0 ( car $e^0$ = 1 ) .

Pour la seconde question , on a bien lnx² = 2lnx , pourvu que x > 0 .
On a $e^{x²}$ ≠ 2. $e^x$ , mais aussi
différent de $e^{2x}$ :
$e^{2x}$ = $e^x$ . $e^x$

Merci encore!
Maintenant j'en suis bloqué aux limites...
Tjrs la même fonction:
f(x)= (exp x - 2)/(exp x +1)

On sort completement du contexte des limites "normales" sans les "exp" ou les "ln".
Je dois chercher les limites en +oo et -oo
Seulement par ou commence-t-on quand l'on a des fonctions de ce type
En appliquant ce que je faisais avec les fonctions de base, je dirai:
lim (exp x - 2)/(exp x +1) donnerait:
x->+oo

On remplace le x par +oo et donc les x s'annule (et donc les "exp" aussi car ils sont multiplicateurs) et l'on prend ce qui reste,donc je trouverai: (-2/1)
Même méthode avec - oo et donc = (-2/1)

Mais cela me semble trop simple.. je n'ai aucun cours qui m'explique comment étudié les limites avec ces fonctions....

J'edit mon msg:
Ayant fait plusieurs recherche sur le net et ENFIN trouvé un site non payant avec des vidéos de cours "basique", j'ai appris de nouvelle choses:
Dont certaines limites a apprendre par coeur:
Ainsi donc, dans ma fonction plus haut:
(exp x - 2)/(exp x +1)
La limite en -oo donnerait: (0-2/0+1) car lim -oo de exp x = 0
Ce qui donnerait je pense (-2/1) pour lim -oo
Mais concernant lim +oo, cela donnerait une forme indeterminé, car lim +oo de exp x = +oo et non 0.
Donc on se retrouve avec +oo/+oo qui est indeterminé, ai-je juste ????
Les vidéos par la suite n'explique pas comment faire, donc la j'ai besoin d'aide svp

→
Citation
On remplace le x par +oo et donc les x s'annule (et donc les "exp" aussi car ils sont multiplicateurs) et l'on prend ce qui reste,donc je trouverai: (-2/1)
Même méthode avec - oo et donc = (-2/1)

J'ai du mal à comprendre .
On ne peut pas "remplacer" x par ±∞ qui n'est pas un nombre .

Lorsque x→-∞ , $e^x$ →0 , donc f(x) tend bien vers -2/1 = -2 .
Mais lorsque x→+∞ , c'est différent : on une "forme indéterminée" de la forme ∞/∞ .
Pour "lever" cette indétermination , le plus rigoureux consiste à factoriser $e^x$ :
f(x) = $e^x$ (1 - $2/e^x$ )] / $e^x$ (1 + $1/e^x$ ) = $(1 - 2 / e$ ^x $1+1/e^x$ )
Et puisque $1/e^x$ →0 , f(x) → 1/1 = 1
Sinon , on peut aussi utiliser des équivalents :
lorsque x→+∞ , $e^x$ - 2 ~ $e^x$ , et $e^x$ +1 ~ $e^x$ , donc f(x) ~ $e$ ^x $e^x$ = 1

oups, tu as répondu juste quand j'ai édité mon msg lol !
Donc j'en suis arrivé à la même conclusion, seulement pour la forme indeterminée, j'ai du mal a comprendre comment tu as factorisé...
J'ai essayé sur feuille blanche mais je n'y arrive pas. (j'ai peut être trop oublié depuis le temps, ou peut être y a t il de "nouvelles" méthodes ??

Et sinon pour les équivalent, comment arrives-tu sensiblement a exp x/ exp x je ne saisi pas... (la seconde méthode a l'ai plus simple)
Merci pour ta réponse rapide !!

Pour la factorisation , c'est comme pour a+1 : si je factorise a , jobtiens :
a +k = a(1 +k/a)
Ici : $e^x$ -2 = $e^x$ (1 $2/e^x$ )
et : $e^x$ +1 = $e^x$ (1 $1e^x$ )
Ensuite , je simplifie le quotient f(x) par $e^x$ qui n'est jamais nul .

Pour les équivalents , lorsque x→ +∞ , $e^x$ →+∞ , et -2 est "négligeable" .
C'est pourquoi $e^x$ - 2 ~ $e^x$
Pareil pour le dénominateur .

je n'arrete pas de faire de brouillons sur une feuille mais je n'arrive vraiment pas a comprendre cette factorisation...
a +k = a(1 +k/a) je n'arrive pas à comprendre tout ce qui se trame dans la parenthèse...
je me souviens d'une méthode qui consistait, au lycée, a appliquer la méthode de l'hopital, est ce applicable avec ces fonctions ?

Et pour la seconde méthode, 2 est "négligeable" mais si cela avait été -40 ou -380, les valeurs sont quand même plus importante non ?

La règle de l'Hopital ne s'applique pas ici : il faudrait deux fonctions tendant vers 0 : ce n'est pas le cas du numérateur et du dénominateur de f .
Pour la factorisation , c'est complètement élémentaire :
4 + 3 = 4(1 + 3/4) : il suffit de redévelopper pour vérifier :
4(1 + 3/4 ) = 41 + 4(3/4) = 4 + 3 , non ?

Concernant les équivalents , peu importe que ce soit 2 ou 3800256897 .
Ils sont négligeables devant l'infini .
C'est pourquoi j'avais dit que la première méthode est plus "rigoureuse" , mais l'utilisation des équivalents reste aussi valable ( si elle est au programme ... ) : la première méthode est en fait une démonstration de la seconde ( dans le cas qui nous intéresse ) .

donc pour la factorisation, est ce que cette "construction" que j'apprend par coeur peu être juste ?
a+b = a(1+b/a)
Car pour vérifier en developpant dans l'autre sens c'est simple, mais j'ai l'impression que c'est la première fois que je vois cette factorisation, elle me semble toute nouvelle et c'est pour cela que je lutte dessus...

Et pour l'équivalent, je ne l'ai pas vu au programme, donc je préfere éviter les risques, car je vais me retrouver avec un cas non justifier et perdre des points...
Cependant elle peut me servir pour "verifier"

Inutile de l'apprendre par coeur . On factorise quand on en a besoin , ce dont on a besoin . Ainsi , dans l'expression 4x + 3y , personne ne m'interdit de mettre 17 en facteur ( si j'en ai besoin ) :
4x + 3y = 17( 4x/17 + 3y/17 )

Il est vrai que dans les "petites" classes , on prend l'habitude de factoriser seulement les entiers ( ou les lettres communes ) :
15x + 20y = 5(3x + 4y) , mais ce n'est nullement une obligation .

ok je pense que ca ira, je m'entrainerai sur d'autre fonction pour les limites, mais j'aimerai soulever une autre interrogation:

[exp x(1 - 2/exp x)] / [p x1 + 1/exp x) = (1-2/exp x)/(1+1/exp x)
Et puisque 1/exp x→0 , f(x) → 1/1 = 1*

c'est surtout la dernière phrase qui m'interpelle, 1/exp x cela donne 0
Donc quand il y a un exp x au dénominateur d'une fraction, cela donne TOUJOURS 0 ? Peu importe si il est accompagné ou seul ?

$1/e^x$ = $e^{-x}$
Lorsque x→+∞ , -x→-∞ , et dans ce cas , $e^{-x}$ →0
Mais cela dépend s'il est "accompagné" ou non .
Ainsi , 1 $2/e^x$ = 1 $2e^{-x}$ → 1:
le premier terme , constant , tend vers 1 , et le second tend vers 0 : la somme tend donc vers 1 .
On applique toujours les règles élémentaires sur les limites : limite d'une somme , d'un produit , etc...

mais si c'est l'exponentielle qui est accompagné, que se passe t il ?
par exemple:
(1 / exp x +2) ?

L'écriture est ambigüe :
est-ce 1/ $e^x$ + 2 ) , ou 1/ $e^{(x+2)}$ ?

hmmm je pensais que c'etait la même chose....
La tu me coinces et je suis en train de cogiter quelles sont les différences si je tombe sur une fonction d'un de ces 2 types...

Oublie les quotients et l'exponentielle .
Tu vois bien que $2^{3+5}$ = $2^8$ = 256
est différent de $2^3$ + 5 = 8 + 5 = 13

je pensais que l'écriture de l'exponentielle se faisait comme cela, et que ce n'etait pas consideré comme une puissance tout simplement.

$e^x$ se lit souvent " e puissance x " .
Mais qu'importe : les deux fonctions 1/ $e^x$ + 2 ) et 1/ $e^{(x+2)}$ sont différentes .

Lorsque x → +∞ , elles tendent toutes deux vers 0
Mais lorsque x → - ∞ , la première tend vers 1/2 alors que la seconde tend vers + ∞ .

D'apres tout mes exercices, les fonctions que j'ai a étudié sont du type:
1 / (exp x + 2 ) (ton premier exemple).

Une fois que j'ai étudié la fonction
(exp x - 2)/(exp x +1)

que j'ai ses limites et son Df, j'étudie les variations, et en faisant la dérivée je trouve :
f'(x): [(3 exp x) / (exp x²)] ou (exp 2x) puisque c'est la même chose c'est bien ca ?

Mais avec une telle dérivée, quelle(s) valeur ai-je à mettre dans mon tableau de variation a pars -oo et +oo ?

Je ne trouve pas la même chose pour la dérivée

Citation
On a $e^{x²}$ ≠ 2. $e^x$ , mais aussi
différent de $e^{2x}$ :
$e^{2x}$ = $e^x$ . $e^x$

Attention: $e^x$ . $e^x$ = $e^{2x}$ , mais pas $e^{x²}$

Détaille le calcul de la dérivée .

Bien, pour la dérivée j'applique cette règle: U/V
soit: (U'V - UV')/ V²
Donc:
U: exp x - 2
U': exp x
V: exp x + 1
V': exp x

soit: [exp x*(exp x + 1) - (exp x - 2) *exp x] / (exp x + 1)²
Je remarque que mon dénominateur de ma réponse précedente est faux, c'est (exp x + 1)² et non exp x²:D

Ensuite on développe: [(exp x² + exp x) - (exp x² - 2exp x)] / (exp x + 1)²
On simplifie (exp x + 2 exp x )/ (exp x + 1)² et donc (3 exp x)/(exp x + 1)²

Cette fois , d'accord .
Pour les variations , tout se passe donc bien puisque la dérivée est toujours positive .
Où est le problème ?

Bah dois je mettre la valeur (3 exp x) dans mon tableau entre -oo et + oo ???
un tableau vide comme cela me fait bizzare, j'ai l'impression que j'oublie des valeurs...

Et enfin, je sais que je suis borné mais j'ai un souci sur cette règle:

(exp x²) donc ne vaut pas (exp 2x) ok, mais cela vaut-il (2 exp x) ???
Par contre pour (ln x²), cette fois cela vaut (ln 2x) ??
Car la règle n'est pas la même pour "ln" et pour "exp" et je me mélange les pinceaux.

3 exp x n'est pas entre -∞ et +∞ : il est "à gauche" pour le signe de f'(x) ( il n'est d'ailleurs pas obligatoire de le placer ) .
Si tu veux placer des valeurs ( par ex 0 ) , tu peux toujours . N'oublie pas d'indiquer les limites .

Pour ton autre question , je crois que tu ne fais pas assez attention à
l'ordredans lequel sont effectuées les opérations , ordre parfois "caché" à cause des "priorités opératoires" .
2 exp x = exp x + exp x ( de même que 2 a = a + a ) .
Rien à voir avec exp x² où x est élevé au carré
avantde passer à l'exponentielle .
Le carré n'est rien d'autre qu'un produit particulier .
exp (a+b) = (exp a).(exp b) ; donc , exp (2x) = (exp x).(exp x) = (exp x)² , mais pas exp (x²) .
Ton autre égalité est fausse également .
Règle : ln(a.b) = (ln a) + (ln b) ;
ainsi , ln(x²) = ln(x.x) = (ln x) + (ln x) = 2. (ln x)
Mais ln(2.x) = (ln 2) + ( ln x) .
C'est différent !
Si les résultats étaient égaux , on aurait x² = 2x !!!!!

D'accord, je dois me mélanger a cause de certaines équations avec lesquels j'ai débuté je pense.
Donc que se soit ln ou exp, ils s'effectuent de la même façon qu'avec les équations ordinaires, il n'y a pas de cas spécifique pour l'un ou pour l'autre c'est bien ca ??

Je passerai sur le chapitre des équations plus tard, autant faire le plus difficile en premier. (Ce qui vaut 15 points d'ailleurs, les équation n'en valent que 5).

Je te remercie pour ton aide, je vais étudier avant d'aller au don du sang ( la copine travaille la bas, je n'y échapperai pas !!
Si je me retrouve bloqué a nouveau je posterai, merci vraiment pour le temps que tu as pris !!!!!

De rien
A+

Re bonjour !!

Je reviens avec une interrogation peut être toute bête, mais qui vient de me mettre un doute !
Toujours avec la fonction précedente, une fois la dérivée trouvé, nous avons conclu comme quoi la dérivé restait toujours positive.

donc la dérivée, je le rappel est: F'(x)->
(3 exp x)/(exp x + 1)²

pour (exp x + 1)² > 0 je suis d'accord
mais pour (3 exp x), si x est négatif, alors le tout devient <0 .
Donc la fonction n'est pas forcément positive ??

exp x est
toujourspositif , quel que soit x ( réel ) .
Regarde ton cours, regarde la courbe représentative de la fonction exponentielle : toujours "au-dessus" de l'axe des abscisses.
L'explication est simple :
tu es d'accord que exp x est positif si x est positif ;
donc -x est négatif ; mais exp(-x) = 1/exp x qui est positif ( inverse d'un nombre positif).

Tres juste, merci c'est très clair!!!

J'effectue un exercice qui consiste a démontrer que:
-2 + (3exp x/ exp +1) est égal à la fonction de base.

Donc je met -2 avec le même dénominateur, que je fais apparaitre en haut puis je développe et tombe en effet sur la même fonction.

1/ Seulement je voulais savoir si je dois mettre des phrases entre les étapes, et une phrase a la fin ou si le simple calcul sans aucun mot est suffisant ?

2/ et second point, l'on me demande, pour la fonction que j'ai étudié (et verifié)
f(x) [(4 exp x - 1 ) / (2 exp x + 1)] (sachant que le +1 et le -1 se situe sur la ligne normal et non la ligne de "puissance" de l'exponentielle).
La question dont je ne sais pas comment procedé est:
determiner les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe avec les axes du repère.

Je comprend le sens de la question, mais ai je le droit de m'aider du graphique et de compter manuellement quand les axes seront coupé par la courbe, ou bien faut il employer une autre méthode ??

PS: grace a ton aide j'ai réussi a faire les limites, dérivées, domaine de définition et tableau de variation sans faute pour cette fonction !! merci !

Ta première question n'est pas très claire.
Si on effectue les calculs , on trouve $e^x$ - $1)/(e^x$ + 1) = th (x/2) : est-ce cela que tu appelles la "fonction de base" ?

Pour la secone question, la lecture du graphique ne suffit pas : il faut indiquer les calculs.
Si x = 0 , y = 1 : point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Si y = 0 , x = ??? : point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Re salut, alors pour la premiere question, la fonction de base est (exp x -
2)/(exp x + 1)

On retombe donc sur la même fonction que celle donné au début de ces posts.
Mais je demandais si il faut juste laisser le tout comme cela ou bien si il faut mettre des phrases pour justifier (pour ne pas perdre des points betement).

et pour la seconde partie, comment sait-on que "y" est coupé en 1 avec l'axe des ordonnées, et pourquoi ne connait-on pas l'axe des abscisse en "x" ??
J'avoue que même avec ces chiffres je ne sais pas quoi en faire...