Donner l'équation cartésienne d'une droite perpendiculaire et colinéarité

Bonjour, j'ai un DM à rendre LUNDI et j'aimerais savoir si mes réponses sont justes. Pourriez-vous m'aider pour les questions 2.a),b),c) car je n'y arrive pas. Voici l'énoncé & mes réponses:
PARTIE A:
(O,i,j) est un repère orthonormé du plan.

Tracer 2x-y+1=0 et placer M(1;2).
Déterminer une équation cartésienne de la droite 1 perpendiculaire à D et passant par M et la tracer.
En déduire les coordonnées de H projeté orthogonal de M sur D puis calculer MH.

PARTIE B:
D est la droite passant par A de veteur normal n. M est un point quelconque du plan et H est son projeté orhogonal sur D.
1.a) Démontrer que AM (vecteur).n = HM (vecteur(.n
b) En déduire que d= |AM.n|/||n||
2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j), on suppose que D:ax+by+c=0, A(xA,yA) et M(x,y).
a) Démontrer que AM.n = ax+by+c
INDICATION: LES COORDONNÉES DE A VÉRIFIENT L'ÉQUATION DE D.
b) En déduire que d= |ax+by+c|/√a²+b²
c) Retrouver le résutat de la partie A en utilisant cette formule.

MES RÉPONSES:
PARTIE A:
2) D1 a pour équation cartésienne: D1: -1/2x-y+5/2
On peut en déduire que: y= -1/2x+5/2
A&B sont 2 points :
f(-7) = -1/2.(-7)+5/2
= 7/2 + 5/2
= 12/2 = 6
DONC A (-7;6)
f(-5) = -1/2.(-5)+5/2
= 5/2 + 5/2
= 10/2 = 5
DONC B (-5;5)

M(1,2) et N (x,y)
Coordonnées de MN (x-1;y-2) , MN doit être colinéaire à n (-2,1) (n = vecteur normal)
On arrive à x-1= k.2
et y-2= -k
x-1= (-y+2).2
x-1= -2y+4
x-1+2y-4=0
x-5+y=0
y= -x+5

On a le système suivant:
y= 2x+1
et y= -x+5
2x+1= -x+5
2x+x= 5-1
3x= 4
x= 4/3
On remplace :
y= -4/3+5
y= -4/3 + 15/3
y= 11/3
ALORS H ( 4/3;11/3)
Pour calculer MH:
MH ( vecteur) = (4/3-1; 11/3-2)
= (1/3; 5/3)
||MH|| = √(5/3)²+(1/3)²
= √25/9 + 1/9
= √26/9
= √26/3

PARTIE B:
1a) AM = u+v (vecteurs)
AM.n = (u+v).n
= u.n + v.n
= u.n
AM.n = HM.n

b) AM.n = HM.n
|AM.n| = |HM.n|
= ||HM||. ||n||
DONC ||HM|| = |AM.n|/||n||

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,
Question A3):
H devrait se trouver sur D1, mais ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de D1 ( y = (-1/2)x + 5/2 )

A Mathtous,
Le point H se trouve également sur la droite D.
H est le seul point d'intersection de D et D1.

Oui , mais d'où vient ton équation y= -x+5 ? ce n'est pas celle de D1 ?

L'équation y=-x+5 est celle de D1
Ensuite avec les deux équations (D & D1), j'ai résolu un système et j'ai trouvé quelles étaient les coordonnées du point H.

Non , c'est contradictoire avec ce que tu avais trouvé avant :
Citation
2) D1 a pour équation cartésienne: D1: -1/2x-y+5/2
On peut en déduire que: y= -1/2x+5/2

De plus , la droite d'équation y = -x + 5 n'est pas perpendiculaire à D
d'équation y = 2x + 1

Ok, alors pour trouver le point H je dois utiliser :
y= -1/2x+5/2 et y= 2x+1
Ensuite je peux faire mon système .. c'est ca?

Oui .

Donc, on a le système suivant:
y= -1/2x+5/2
et y= 2x+1

Alors, -1/2x+5/2 = 2x+1
-1/2x-2x = 1 -5/2
-1/2x-4/2x = 2/2-5/2
-5/2x = -3/2
x = -3/2 . -2/5
x = 3/5
Je remplace maintenant:
y= -1/2.3/5+5/2
y= -3/10+5/2
y= -3/10+25/10
y= 22/10
y= 11/5

Finalement H (3/5;11/5)

Ok.
Tu dois donc ( partie A ) recalculer HM

Oui, alors:
M (1,2)
H (3/5; 11/5)
Alors
MH = (3/5-1; 11/5-2)
= (-2/5; 1/5)
Finalement:
||MH|| = √(1/5)² + (-2/5)²
= √1/25 + 4/25
= √5/25
= √5/5

Oui pour le résultat final , mais attention à l'écriture ( parenthèses).

Pour la partie B, je ne comprends pas ce que représentent u et v .

Pour la partie B:
D'après la relation de Chasles: AM = u+v ( ce sont des vecteurs)
Où dois-je faire attention à l'écriture parenthèse?

√(1/5)² + (-2/5)² : √
[(1/5)² + (-2/5)²
]
√1/25 + 4/25 : √**(** 1/25 + 4/25**)**
√5/25 : √**(5/25)**
√5/5 : (√5)/5
etc ...

u et v sont des vecteurs , j'avais compris : mais
quelsvecteurs ?
Si tu utilises la relation de Chasles , pourquoi ne pas écrire
directement
AM.n = (AH + HM).n ? ( les vecteurs évidemment )

Je vais essayé de résoudre de cette facon

Simple question d'écriture , mais il faudra justifier la fin.

Oui en effet, ca marche aussi !
Je me suis cassée la tête

C'est la même chose , ce n'est pas une autre méthode.
Mais as-tu bien dit que AH.n = 0 parce que n est orthogonal à AH ?

OUI

Bon .
Qu'est-ce qui te gêne dans la B2 ?

Eh bien je ne vois pas comment je pourrai démontrer ..

J'ai dis que comme AM.n = HM.n
alors: HM.n = ax+by+c

Il faudrait le justifier !
Donne les coordonnées de AM et celles de n.

les coordonnées de AM sont (x-xa;y-ya)
et celles de n : ?

n est un vecteur normal à D d'équation ax + by + c = 0.
Regarde ton cours : pour une telle équation , on te donne un vecteur normal ( et aussi un vecteur directeur ).

Ahh oui
n (-b;a)

Non : regarde ton cours ...

Dans mon cours, c'est écrit:
Toute équation de la forme ax+by+c=0 est celle d'une droite de vecteur normal n(a,b) et de vecteur directeur u(-b,a)

Ok , mais ce n'était pas ce que tu avais écrit ici
Citation
Ahh oui
n (-b;a)
Tu peux calculer AM.n ( produit scalaire )

D'accord, alors:
M(x,y)∈D ssi AM est perpendiculaire à n
ssi AM.n =0
Ssi (x-xa)a+(y-ya)b =0
Ssi ax-axa+by-bya =0
Ssi ax+by-axa-bya =0
Ssi ax+by+c=0

Non : on ne cherche pas à ce que M appartienne à D ( aucune raison ) , on cherche seulement à
calculerAM.n ,
ce qui donne ax+by+c ( pas "=0" )
Ensuite , utilise le résultat sur d ( distance MH ) établi à la partie A.

C'est à dire que je n'ai que besoin de dire que :
(x-xa)a+(y-ya)b
ax-axa+by-bya
ax+by-axa-bya = ax+by+c ?

je ne comprends pas .. :S

AM : (x-xa ;y-ya) et n:(a,b).
Donc AM.n = a(x - xA) + b(y - YA)
AM.n = ax -axA + by - byA
AM.n = ax + by - (axA + byA)
AM.n = ax + by + c , car - (axA + byA) = c , car A est sur la droite D : ses coordonnées vérifient l'équation de D.

OK

Citation
Ensuite , utilise le résultat sur d ( distance MH ) établi à la partie A.

Je ne vois pas

Citation
b) AM.n = HM.n
|AM.n| = |HM.n|
= ||HM||. ||n||
DONC ||HM|| = |AM.n|/||n||

Ici , d c'est HM ?
Tu as calculé AM.n , et tu connais n , donc ...

Alors,
HM = AM.n/||n||
Donc,
HM = |ax+by+c|/√a²+b²

"HM = AM.n/||n||" : AM.n doit être pris en valeur absolue : |AM.n|
Vérifie avec l'exemple de la partie A

C'est à dire:

HM = 2x-y+1/ √2² + (1)²
Est-ce bien ca ?