Résoudre un problème en géométrie en utilisant les suites

Bonjour je bloque sur l'exercice d'un dm dont voici l'enoncé:

D'un carré à l'autre
Soit ABCD un carré. On construit les points A', B', C', D' sur les segments [AB], [BC], [CD], [DA] tels que AA'=BB'=CC'=DD'=1.

a) A quelle condition sur AB la construction est elle possible?
b) Démontrer que A'B'C'D' est un carré et que si AB>1 alors A'B'>1.

A partir d'un carré $K_0$ de côté 10cm, on construit successivement des carrés $K$ _2 $K$ _2 $K_3$ [....]comme sur la figure ci dessus. Chacun d'eux ayant ses sommets sur les côtés du carrés précédent et à 1 cm de ses sommets.
Peut on continuer indéfiniment une telle construction? Justifier.
Pour tout entier naturel n, on note $C_n$ le côté du carré Kn.
a) Que peut on dire du sens de variation de la suite $C_n$ )? Justifier.
b) Justifier la relation de récurrence liant deux termes successifs de la suite $C_n$ ):
Pour tout n de N, $C_{n+1}$ =√ $1+(C_n$ -1)²)

c) A l'aide d'un tableur créer une feuille de calcul donnant les 20 premiers termes de cette suite

d) A partir de quel rang n, a-t-on $C_n$ <1,1?

Les observations précédentes conduisent à étudier la suite (Un) définie sur N par $Un=C_n$ -1
a) Justifier que pour n, Un>0; puis préciser le sens de variation de la suite (Un)
b) Démontrer que pour n, $U_{n+1}$ =(U²n)/(1+√(1+U²n).

c) En déduire que pour tout n, $U_{n+1}$ ≤1/2U²n, puis que $U_{n+3}$ ≤ $10$ ^{-2} $U$ ^8 $_n$

d) En utilisant cette égalité et le fait que $U_{11}$ < $10^{-1}$ (d"après 3)d) démontrer que $U_{17}$ < $10^{-82}$

Voilà voilà je bug dés la première question^^
Merci a tous ce qui peuvent m'aider !

Bonjour,

a) A' ∈ [AB] et AA' = 1 !!!!! A quelle condition cela est-il possible ?

Une idée pour 1) b) ?

Si AB soit strictement supérieur a 1?

Pour la b)J'arrive a prouver avec Pythagore que D'C'=B'C'=A'B'...
Mais je ne voit pas comment expliquer que les coté forment des angles droits

Une idée , mais il y en a peut-être d'autres :

Trouver des triangles isométriques et du coup des angles égaux et des angles supplémentaires ou complémentaires !

là il faut que je dorme parce que j'arrive même pas a me rappeler des propriété des triangles isométriques^^
Bonne nuit!

salut

2e cas d'isométrie : un angle égal compris entre deux angles égaux.

Salut,
Désoler mais je ne vois toujours pas...

re.

on veut prouver que A'B'C'D' est un carré.

il suffit pour cela de montrer que ses quatre côtés sont égaux et qu'un de ses angles est droit.

pour cela, il suffit de montrer que les triangles D'AA' et A'BB' (avec les points respectivement homologues dans cet ordre) sont isométriques - des triangles superposables, égaux quoi.

ils ont tous les deux un angle égal (l'angle droit) et deux côtés homologues égaux : D'A et A'B d'une part, et AA' et BB' d'autre part. voilà c'est réglé pour l'isométrie.

maintenant, quelle est la propriété des deux angles codés sur la figure ?

Re,
Ok j'ai compris.
Les angles sont complémentaires non?

voilà !
alors que dire de leur somme ?
et donc que dire de l'angle B'A'D' ?

Leurs somme=90° par suite B'A'D' est un un angle droit?

oui.

Euh pour la 2 tu je vois pas trop non plus!

le côté devient de plus en plus petit, strictement plus petit d'un rang au suivant. la construction n'est possible que tant que le côté dépasse 1 cm.

pour la suite, il faudrait que tu édites ton post pour préciser ce que tu entends par Cn à chaque fois : est-ce C_n-1 ou C_{n-1} ? car ce n'est pas la même chose...

Donc ou bout d'un moment sa s'arrête?
Ok j'édite ça...

C'est bon
C'est mieux?

ah ta modif a dû se télescoper avec la mienne (sur le recadrage de l'image). je ne vois pas de changement sur les indices notamment :

Citation
b) Justifier la relation de récurrence liant deux termes successifs de la suite (Cn):
Pour tout n de N, Cn+1=√(1+(Cn-1)²)

c) A l'aide d'un tableur créer une feuille de calcul donnant les 20 premiers termes de cette suite

d) A partir de quel rang n, a-t-on Cn strictement inférieur à 1,1?

Les observations précédentes conduisent à étudier la suite (Un) définie sur N par Un=Cn-1

tu peux reprendre juste ceux-là ?

Oui

Là sa devrait aller?

bon alors à ton avis, comment prouver que $cn+1=1+(cn−1)2\small c_{n+1} = \sqrt{1 + (c_n - 1)^2}$

Pythagore non?

Mais j'en suis qu'a la question 3)a)

oui, pythagore.

si tu trouves un argument n'employant pas 3b) pour faire 3a), je veux bien : je ne le vois pas comme ça.

ah si, je suis bête : c'est l'inégalité triangulaire !

Inégalité triangulaire??? Sa me dit pas grand chose...

dans un "vrai" triangle, chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

pk "vrai"?
Mais sa m'avance à quoi? Sur cette exo je sèche complètement en plus là je suis fatigué

vrai, parce qu'il existe des triangles "dégénérés" : aplatis.

dans çui-là, tu as C_{n+1} < (C_n - 1) + 1 donc C_{n+1} < C_n.

oui, c'est bien C_n - 1, si tu regardes comment est construit C_{n+1} !

dégénérés
Oki merci pour ton aide. Tu pourras m'aider demain?

on essaiera.

bonne nuit

Merci toi aussi.

Bonjour,
as-tu traité la question 1 ?

Alors,
1)a)J'ai mis que la construction est possible si AB>1
1)b)Avec le théorème de Pythagore j'ai réussi à montrer que les longueurs A'B'=B'C'....
Mais aprés Zauctore ma dit d'utiliser les angles complémentaires
AA'D' et A'B'B.
J'ai pas besoin d'expliquer pourquoi il sont complémentaires?
Parce que ça se voit mais l'expliquer c'est autre chose!

Exprime le cosinus de l'angle AA'D' , et le sinus de l'angle BA'B' ( fais attention aux lettres ).

cosAA'D'=sinBA'B'?

Oui : le
sinusde l'un est égal au
cosinusde l'autre , donc les deux angles sont complémentaires ( programme de 3° ).
La somme de leurs mesures vaut 90° , il reste donc 90° pour l'angle D'A'B' .
D'où la réponse.
Pourquoi A'B' est-il supérieur à 1 ?

parceque:
A'B'=(cosPI/4)/AA'=(sinPI/4)/BB'
D'ou
A'B'=1*2/√2≈1,4???
Sa ma l'air tout faux^^

En effet : d'où vient ton Pi/4 ?
A'B' est l'hypoténuse du triangle rectangle A'BB' , et l'hypoténuse est le plus grand côté ( programme de 6° ).
Donc A'B' > BB' qui vaut 1 !!
Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ...
Je vais déjeuner.
Réfléchis à la question 2 : il me semble que ta réponse était fausse ( si j'ai bien vu ) : le procédé ne s'arrête pas : pourquoi ?

Ok^^
Je réfléchis...

On vient de montrer que si AB>1 alors A'B'>1,
par suite, forcement, $A$ ^x $B^x$ 1!
Donc une telle construction se fait indéfiniment.