Exercice de Fonction : un rectangle dans un triangle rectangle

Bonjour,
J'ai un dernier exercice à faire et ramassé, je requiers encore votre aide.
Voici l'énoncé :

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm .
Soit M un point du segment [AB] et AM=x .
N est un point de [BC] et P un point de [AC] tels que AMNP soit un rectangle.

Soit f la fonction qui, à chaque x, associe l'aire du rectangle AMNP et sa courbe
a) Quel est l'ensemble de définition de f ?
b) Montrer que f(x) = 1/2x(8-x)
c) Vérifier que f(x) = -1/2(x-4)²+8
a) Etudier les variations de f sur l'intervalle [0;4] puis sur l'intervalle [4;8]
b) Représenter sur [0;8]
c) En déduire que l'aire du rectangle AMNP est maximale pour une position du point M, que l'ont précisera.

d) Quelle est l'aire correspondante ?
3) Déterminer graphiquement puis par le calcul les positions du point M pour lesquelles l'aire de AMNP est égale à 4 cm²

Voilà j'aimerai que vous m'aideriez pour la 1) : b) et la 2) : a) + c) et la 3)
Merci d'avance

Bonjour,

Il me semble que ce sujet a déjà été traité ici, je cherches pour te donner les liens !

Ok, et quand l'aurais-je ?

Je ne l'ai pas retrouvé pourtant j'ai déjà fiat cet exo !

Est-ce que ton dessin ressemble à

Il ne reste plus qu'à exprimer y en fonction de x en utilisant Pythagore ou Thalès , je ne sais plus ce qui marche le mieux !

Il ressemble exactement à ça, si on se fie aux valeurs !

Ne serait-ce pas ça :

a) M appartient à AB donc f est définie sur [0, 8]

b) Les triangles MBN et ABC sont semblables ==> MB/BA=MN/CA ==> (8-x)/8=MN/4 ==> MN=(8x)/2 et f(x)=MNAM=x*(8-x)/2

c) f(x)=x*(8-x)/2=-(x^2+8x)/2 =-(x^2-8x+16-16)/2 =-(-(x^2-8*x+16)/2+8=-(x-4)^2/2+8

a) soient deux valeurs a et b telles que a>b f(b)-f(a)=(a-4)^2-(b-4)^2= (a+b-8)(a-b)
si a et b appartiennent à l'intervalle l'intervalle [0;4] ==> f(b)-f(a)= (a+b-8)(a-b) >0 et la fonction f(x) est croissante
si a et b appartiennent à l'intervalle l'intervalle [4;8] ==> f(b)-f(a)= (a+b-8)*(a-b) <0 et la fonction f(x) est décroissante.
La fonction f(x) passe par un maximum pour x=4

b) (Fait à la main)

c) Voir question a) -> 0

d) f(4)=8

par le calcul f(x)==-(x-4)^2/2+8 =4 ==> 8-(x-4)^2=0 ==> (x-4)^2-√8^2=0 ==> (x-4-√8)(x-4+√8) ==>deux solutions :
x= 4+ √8
x= 4 - √8

Alors ??

Bonjour je j'ai actuellement le meme excercie etj'aimerai un confirmation pour le petit c)

car je vois pas comment de f(x)-1/2(x-4)²+8

on obtient f(x)=x*(8-x)/2

@Louis-Drapier Bonjour,

Développe puis factorise l'expression simplifiée.

Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.

@Noemi enfaite le f(x)=x*(8-x)/2 c'est la reponse que j'ai vu ci-dessus mais je comprends pas pk

@Louis-Drapier

$f(x)=−12(x−4)2+8f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+8$
tu développes :
$f(x)=−12(x2−8x+16)+8f(x)=-\dfrac{1}{2}(x^2-8x+16)+8$

$f(x)=−12x2+4x−8+8f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+4x-8+8$
Tu simplifies
$f(x)=−12x2+4xf(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+4x$
Tu mets $x2\dfrac{x}{2}$ en facteur

$f(x)=x2(−x+8)f(x)=\dfrac{x}{2}(-x+8)$
que tu peux écrire :
$f(x)=x2(8−x)f(x)=\dfrac{x}{2}(8-x)$ ou

$f(x)=x(8−x)2f(x)=\dfrac{x(8-x)}{2}$

@Noemi Merci beaucoup ça m'a bien aidé et juste un dernier service
C'est pour la question C et D si possible d'avoir des details explicatif sur les réponses

sa sera tout merci beaucoup

@Louis-Drapier

En utilisant la relation de $f (x)$ donnée à la question 1. c), l'aire est maximale si la partie négative est nulle, soit si $x - 4 = 0$ donc $x = . . . .$

Si la partie négative est nulle, on déduit la valeur maximale de l'aire, soit .....

@Noemi d'accord je vois merci beaucoup en tout cas tu viens de me sauver là

@Louis-Drapier

Tu as réussi à compléter les pointillés ?

@Noemi
En utilisant la relation de f(x) donnée à la question 1. c), l'aire est maximale si la partie négative est nulle, soit si x−4=0 donc x=4

Si la partie négative est nulle, on déduit la valeur maximale de l'aire, soit 8

??

@Louis-Drapier

C'est correct.
Précise l'unité de l'aire.

@Noemi Juste une dernière chose pour la question

Déterminer graphiquement puis par le calcul les positions du point M pour lesquelles l'aire de AMNP est égale à 4 cm²

Pour determiner graphiquement je dis quoi en gros ?? (j'ai fais le graphique de la courbe)

@Louis-Drapier

Indique l'abscisse du sommet de la courbe.
Précise sur le graphe, le point M, son abscisse et son ordonnée.

@Noemi D'accord en tout cas merci pour ton aide