Dénombrement - Exo classique ... mais pas kapige

Salut,

Je bute sur un exo pourtant classique . . . je synthétise (début et dernière question) :

Une main de 4 cartes est un ensemble de 4 cartes choisies parmi 32.

Nbre de mains possibles :

$($ _4 $^{32}$ ) = 35 960

Question 5) :
Combien de mains contiennent au moins 1 roi

Corrigé, en 2 méthodes :

1ère méthode

A : ens de ces mains

A1 : ens des mains contenant exactement 1 roi
A2 : ens des mains contenant exactement 2 rois
A3 : ens des mains contenant exactement 3 rois
A4 : ens des mains contenant exactement 4 rois

Card(A) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3) + Card(A4)

= $($ _1$$^4$)( $_3$ ^{28} $) +$ ( $_2$ $^4$ )( $_2$ ^{28} $) +$ ( $_3$ $^4$ )( $_1$ ^{28} $) +$ ( $_0$ $^4$ )( $_4$ ^{28}$)

= 15 485

2ème méthode

$A^→$ (lire A barre) : ens des mains ne contenant aucun roi.

Card $A^→$ ) = $($ _4 $^{28}$ ) = 15 485 aussi (pas belle la vie ?)

Mais moi j'ai mis :

Card(A) = $($ _1$$^4$)( $_3$ ^{31}$) = 17 980 . . .
c'est faux !

J'ai considéré que l'on prenais un roi (1 parmi 4), puis qu'ensuite on prenait 3 autres cartes parmi le reste du paquet les autres rois compris (3 parmi 31) puisque l'on peut très bien prendre les 4 rois.

Je ne comprends pas mon erreur. Je ne vois pas ma faute de logique là dedans.

alors si vous pouviez m'éclairer parce que ça m'énerve . . .

Je vous en remercie.

Bonjour,

Avec ton calcul, tu comptes deux fois certaines combinaisons.
exemple :
Première carte roi de pique P
Tu obtiens PCoeur, PTtrèfle, PCoeur tréfle, .....
Première carte roi de Coeur Co
tu obtiens CoP, Cotrèfle, CoPtrèfle ......
....
Tu dois chercher le nombre de combinaisons comptés deux fois et soustraire le total à ton résultat.

Salut Noémi,

Je n'ai pas bien compris les ", PTtrèfle, PCoeur tréfle,CoP, Cotrèfle, CoPtrèfle "

Je vais y réfléchir tranquillement

Merci biien.

PTtrèfle veut dire que parmi les quatre cartes, il aura deux rois, celui de pique et celui de trèfle
PCoeur trèfle veut dire que parmi les quatre cartes, il aura trois rois, celui de pique, celui de coeur et celui de trèfle

Ah, ça y est, je pense avoir compris ce qui cloche :

Dans mon calcul, je compte par exemple deux fois les mains suivantes :

roi de pique – roi de cœur – 7 de pique - 8 de pique
roi de coeur – roi de pique – 7 de pique - 8 de pique

Alors qu’il s’agit d'une même main. C’est bien cela ?

Je compte donc en trop :

Deux fois au lieu d’une chaque couple de mêmes rois
Plein de fois au lieu d’une les trios de mêmes roi
Encore plus que plein de fois au lieu d’une les carrés de rois

"Tu dois chercher le nombre de combinaisons comptés deux fois et soustraire le total à ton résultat."

Nbre de paires de rois :
Il y a 4 rois, il y a donc (24) soit 6 paires possibles.
Je compte 2 fois les paires, j’en compte donc 2x6=12 au lieu de 6 soit 6 de trop.

Nbre de trio de rois :
Il y a (34) soit 4 trio possibles.
Mais je compte combien de fois les trios ?

Nbre de carré de rois :
1 seul. Mais combien de fois je les compte . . . ?

Ca se complique trop. J’abandonne. Elle est vraiment pourrie ma méthode.

PS : On a shunté les probas l'an dernier (retard sur le prog), alors c’est la galère . . . et ça devient vraiment urgent.

Merci encore.

Bonjour,

Les 2 bonnes méthodes sont bien celles qui ont été présentées. Que n comprends-tu pas ?

A1 : ens des mains contenant exactement 1 roi

On choisit 1 roi parmi les 4 rois et les 3 autres parmi les 28 non rois donc il y en a bien $($ _1 $^4$ )
* $($ _3 $^{28}$ )

A2 : ens des mains contenant exactement 2 rois

On choisit 2 rois parmi les 4 rois et les 2 autres parmi les 28 non rois donc il y en a bien $($ _2 $^4$ )
* $($ _2 $^{28}$ )

etc ...

Bonjour Zorro,

J’ai parfaitement compris les deux solutions correctes (méthode directe et méthode avec Abarre).

Par contre,
je ne comprenais pas ce qui clochait dans la mienne, cad :

Card(A) = $($ _1$$^4$)( $_3$ ^{31}$) = 17 980

On prend un roi (1 parmi 4), puis qu'ensuite 3 autres cartes parmi les 31 restantes (3 parmi 31) puisque l'on peut très bien prendre entre autres les 3 autres rois.

Je considérais qu’ainsi, je devais retomber sur le même nombre que les deux méthodes de la correction. Or j’obtiens une valeur supérieure.

Je peux retenir sans prbl les méthodes correctes, mais j'aime comprendre mes erreurs.