Calcul de la probabilité et de l'espérance d'une variable aléatoire

[bully5]

Bonsoir tout le monde, pouvez vous m'aider svp

Enoncé

on distribue au hasard n chapeaux appartenant à n personnes.
on se propose de calculer le nombre moyen de personnes retrouvant leur chapeau .

les personnes sont numérotées 1 , 2 , ..., n.

On considère les variables aléatoires compteurs X_i pour i dans {1 , 2 ,..., n} définie par X_i = 1 si la personne i retrouve son chapeau ou 0 sinon.

1. que représente la variable aléatoire X = X_1 + X_2 +...+ X_n ?

2. montrer que la probabilité P(X_i= 1) est égale à 1/n.
   En déduire E(X_i).

3. Calculer E(X) et commenter le résultat obtenu

Mes réponses

1. X représente le nombre de personnes qui ont récupéré leur chapeau.

2. Chaque fois que la personne a reçu un chapeau est une épreuve de Bernoulli où le succès correspond au fait que la personne reçoit bien son chapeau et l'échec où la personne reçoit un chapeau qui n'est pas le sien.
   Cet "ensemble" est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes. Il correspond à un schéma de Bernoulli.
   Le nombre X_i de personne ayant retrouvé leur chapeau est une variable aléatoire de loi binomiale X de paramètres ?
   on ne connait ni n , ni p?

Est ce que je suis bien partie?

Merci de votre aide

[kanial]

Salut bully,

Pour le 1) ok.
Pour le 2), j'ai l'impression que tu te compliques beaucoup... $p(X_i$=1) est la probabilité que la i-ème personne récupère son chapeau, du coup tu n'as qu'à appliquer la fameuse formule "nombre de cas favorable(s)" / "nombre de cas total"...
Pour la 3), il faudra appliquer la formule de l'espérance à ceci, n'hésite pas à demander si tu bloques.

[bully5]

Merci beaucoup Kanial
donc si j'ai bien compris pour la 2) vu qu'il y a n personnes, il y a donc n chapeaux ainsi la i-ème personne veut son chapeau, or elle n'a qu'une seule chance de le récupérer donc $p(X_i$=1)=1/n
je pense donc pour $E(X_i$)=n*1/n= 1
3)oui je bloque pour la 3 car la variable est X= $X_1$+ $X_2$ +...$+X_n$
$E(X)=x$_1$\ast p$_1$+x$_2$\ast p_2$+...$+x$_n$\ast p_n$

[bully5]

après avoir réfléchis je trouve E(Xi)= 1*(1/n) et E(X)=n*(1/n) =1
merci bien

[kanial]

Pour E(X) ton calcul est à revoir, je ne vois pas du tout comment tu trouves ça. Ta formule pour l'espérance est fausse, quels sont les valeurs que peut prendre X ? Que vaut p(X=k) ?

[bully5]

E(Xi)= 1*(1/n)+0*(1/n)

E(X) = somme de E(Xi) = n*1/n= 1
vous n'êtes pas d'accord avec cela?

[kanial]

Non en fait tu as raison... L'espérance est bien linéaire, du coup il n'y a pas de soucis (désolé, je ne suis pas un grand spécialiste des probas...)

[oli]

Attention par contre, "en examen", la solution ne mériterait pas tous les points car on ne peut pas dire :
E(X_i) = 1*(1/n) + 0*(1/n)
même si le résultat est correct.

En effet p(X=1) = 1/n, mais p(X=0) n'est pas égal à 1/n.
Le résultat reste le même car on a tout le temps 0*p(X=0) = 0

[Zorro]

Bonjour,

L'idée de trouver une loi Binomiale n'est pas stupide !

Il suffit de préciser l'expérience qui n'a que 2 issues possibles et qui est répétée.

Ici l'expérience de base est : on met un des n chapeaux sur la tête de quelqu'un. Il y a bien 2 issues :

• le chapeau reçu est le sien et proba de la réussite , p = 1/n
• le chapeau reçu n'est pas le sien et proba de l'échec , q = 1 - 1/n

Cette expérience est répétée n fois ; donc cette répétition suit une loi binomiale de de paramètres n et 1/n

Il ne reste plus qu'à relire son cours pour conclure.

[bully5]

d'accord , merci Zorro