les éléphants et leurs raquettes

Bonjour,

j'ai un exo où je ne comprends pas grand chose, pouvez vous m'aider svp?

Lorsque les éléphants sautent en parachute au dessus de la savane, ils chaussent des raquettes pour ne pas s’enliser. Il y a 2 types de raquettes pour pachydermes ; certains utilisent 4 raquettes à petits tamis , une à chaque patte, et les autres 2 raquettes à grand tamis pour les pattes arrières . Les fixations sont les mêmes pour les 2 types de raquettes. La probabilité pour qu’une raquette se détache avant le contact avec le sol est noté p.

Un éléphant saute avec 4 raquettes à petits tamis. Quelle est la probabilité p qu’il ait (strictement) moins de deux raquettes aux pattes lorsqu’il touche le sol ?
Un éléphant saute avec 2 raquettes à grand tamis. Quelle est la probabilité Q qu’il n’ait aucune raquette aux pattes à l’atterrissage?
Sachant qu’un éléphant s’enlise s’il a perdu plus de la moitié de son équipement , comparer, en fonction des valeurs de p, les probabilités de s’enliser avec chaque type de raquettes. (On pourra résoudre , en fonction, de p , l’inéquation P-Q £ 0)

Mes réponses :

Chaque "patte" est une épreuve de Bernouilli où le succès est la présence de raquette à petit tamis à la patte i à l'atterrissage et l'échec est la non-présence de raquette à petit tamis à la patte i lors de l'atterrissage
les pattes sont la répétition de 4 épreuves identiques et indépendantes. Il correspond à un schéma de Bernouilli
Le nombre X de raquettes présentes lors de l 'atterrissage est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n=4 et p=1/2

p(X=0)=(0 parmi $4) < e m > (1 / 2)$ ^0 $em>(1-(1/2))^{4-0}$ =1/16
p(X=1)=(1 parmi 4)' $1 / 2)$ ^1 $em>(1-(1/2))^{4-1}$ =1/4
P=p(X=0)+p(X=1)=1/16 + 1/4=5/16

Q=(0 parmi $4) < e m > (1 / 2)$ ^0 $em>(1-(1/2))^{4-0}$ =1/16
j'ai fait quelque chose mais je doute fort que ça soit ça car je suis complètement larguée :s

Salut bully,

Pour la 1) c'est ok, à part que le texte ne te dit nulle part que p=1/2, il faudrait donc que tu réécrives tes résultats en fonction de p qui est inconnu.
Pour la 2), si je comprends bien le texte, il s'agit du même problème que pour le 1) sauf qu'il y a deux raquettes au lieu de 4... Je te laisse voir comment procéder.

p(X=0)=(0 parmi $4) < e m > (p)$ ^0 $< / e m > (1 - (p)$ ^{4-0} $1-p)^4$
p(X=1) (1 parmi $4) < e m > p)$ ^1 $< / e m > (1 - (p)$ ^{4-1} $4p*(1-p)^3$
$P = p (X = 0) + p (X = 1) = < a h r e f = " 4 p + 1 - p " > (1 - p)$ ^3 $a>=(1-p)^3$ (3p+1)
j'avais mis p=1/2 car la raquette à une chance sur deux de tomber avant l'atterrissage!
p(X=0)=(0 parmi $2) < e m > (p)$ ^0 $em>(1-p)^2$ =(1-p)²
p(X=1) (1 parmi $2) < e m > p)$ ^1 $em>(1-(p))^{2-1}$ =2p*(1-p)
Q=p(X=0)+p(X=1)=(1-p)[2p+1-p]
=(1-p)[p+1]

ca me parait peu probable mais je tente

Citation
j'avais mis p=1/2 car la raquette à une chance sur deux de tomber avant l'atterrissage!
où vois-tu cela écrit dans le texte ??

Je ne suis pas d'accord avec tes résultats, p est la probabilité qu'une raquette tombe, p(X=0) est la probabilité qu'il ne reste plus aucune raquette aux pieds de l'éléphant une fois au sol, donc la probabilité que les quatre raquettes tombent... Le même problème figure dans tous tes calculs, sinon le reste semble juste !

c'est moi qui pensais cela ^^
la probabilité que les quatre raquettes tombent= 4*P

ok

Non non ce n'est pas 4*p, ton principe de calcul était bon, tu avais juste fait une confusion entre p et 1-p...

je ne vois pas où est ce que je me suis trompée

Si p est la probabilité qu'une raquette tombe, quelle est la probabilité que 4 raquettes tombent, ce n'est pas $1-p)^4$ , mais ... Cette probabilité est p(X=0).

... mais p^4 ... mais ça fausse tous mes calculs: non?!

Techniquement ça ne les fausse pas, ça les rendrait même plus justes
Tu as juste à remplacer 1-p par p partout (et vice-versa...)

C'est pas faux!! ^^

p(X=0)=(0 parmi $4) < e m > (1 - p)$ ^0 $em>(p)^4-0=p^4$
p(X=1) (1 parmi $4) * 1 - p)$ ^1 $* p$ ^3 $4(p-1)*p^3$
$P=p(X=0)+p(X=1)=p^3$ (4-3p)

p(X=0)=(0 parmi $2)*(1-p)^0$ *p²=p²
p(X=1) (1 parmi $2)<em>1-p)^1</em>p^{2-1}$ =2(1-p)*p
Q=p(X=0)+p(X=1)= 2p-p²

voilà qui est mieux, il reste encore une erreur par contre : comment trouves-tu $p(X=0)+p(X=1)=4(p-1)*p^3$ ?? Tu as fait une erreur de calcul ici, je te laisse reprendre avant de passer à la dernière question !

ah oui je vois $p (X = 0) + p (X = 1) = p$ ^4 $p^3$ 4(p-1)
$p^3$ (p+4p-4)
= $p^3$ (5p-4)

Sachant qu’un éléphant s’enlise s’il a perdu plus de la moitié de son équipement , comparer, en fonction des valeurs de p, les probabilités de s’enliser avec chaque type de raquettes. (On pourra résoudre , en fonction, de p , l’inéquation P-Q ≤0)
$p^3$ (5p-4)-2p-p²≤0??

Quel est l'intérêt d'étudier cette inéquation ? Tu as fait une erreur de signe dans ton expression... As-tu des pistes pour résoudre une telle équation ?

vu la question posée je pense que l'intéret de cette inéquation c'est connaître la probabilité de s'enliser avec chaque type de raquette mais je n'ai pas d'idée pour résoudre cette inéquation !!

Si tu sais quand est-ce que P-Q est négatif qu'est-ce que cela t'apporte ?
Peux-tu déjà écrire l'équation correcte ? Ce que tu peux faire pour la résoudre est tenter de trouver des "racines évidentes" c'est-à-dire des valeurs simples de p qui annulent P-Q...

cela signifie que la probabilité que l'équipement lâche est supérieur à la probabilité que l'équipement tienne

p^3(5p-4)-2p+p²≤0
p doit être égal à 1
mais je ne vois pas comment la résoudre

non la justification n'est pas bonne, qu'est-ce que P, qu'est-ce que Q ? Si P-Q≤0 alors P≤Q...

l'inéquation que tu as à résoudre est donc p³(5p-4)-2p+p²≤0, ce qui serait pas mal c'est de pouvoir factoriser... Il y a une factorisation qui est relativement évidente, pour l'autre, comme tu l'as fait remarquer, dans le cas p=1, on a p³(5p-4)-2p+p²=0, par quoi peut-on alors factoriser p³(5p-4)-2p+p² ?

P et Q correspondent respectivement aux questions 1 et 2 à savoir avoir moins de deux raquettes et plus aucune raquette
p(p²(5p-4)+p-2)
p²(5p-4)+p-2

nous nous sommes trpmpés car
p(X=1) (1 parmi 4)(1-p)^1p^3=4(1-p)*p^3 et non pas p-1
P=p(X=0)+p(X=1)=p^4+ p^34(1-p)
=p^3(p+4-4p)
= p^3(4-3p)

Q=p(X=0)+p(X=1)= 2p-p²

P-Q = 4p^3-3p^2-2p+p^2 = 4p^3-2p^2-2p = 2p(2p²-p-1)
il faut donc étudier le signe de 2p²-p-1
oki merci
2p²-p-1 a=2 b=-1 c=-1
b²-4ac
=1+8=9
x1=1-3/4=-1/2
x2=1+3/4=1

x | -00 -1/2 1 +00

f(x) | + 0 - 0 +

P-Q<0
S=[-1/2; 1]
est ce que ça te parait correct?

oui effectivement, je l'avais pas vue celle-là, mais tu t'es trompé en écrivant P-Q, tu as une puissance 4 qui s'est transformée en puissance 2... Du coup ça change pas mal de choses, mais je pense que tu pourras encore factoriser par p et 1-p...

oui je me suis trompé mais j'ai retrouvé le résultat en refactorisant, merci pour cet exo^^

les éléphants et leurs raquettes

P-Q = 4p^3-3p^2-2p+p^2 = 4p^3-2p^2-2p = 2p(2p²-p-1) il faut donc étudier le signe de 2p²-p-1 oki merci 2p²-p-1 a=2 b=-1 c=-1 b²-4ac =1+8=9 x1=1-3/4=-1/2 x2=1+3/4=1

x | -00 -1/2 1 +00

P-Q = 4p^3-3p^2-2p+p^2 = 4p^3-2p^2-2p = 2p(2p²-p-1)
il faut donc étudier le signe de 2p²-p-1
oki merci
2p²-p-1 a=2 b=-1 c=-1
b²-4ac
=1+8=9
x1=1-3/4=-1/2
x2=1+3/4=1