la pièce truquée

bonjour,
est ce que vous pouvez regarder si toutes mes réponses sont bonnes svp:
Une urne contient 3 pièces équilibrées . Deux d'entre elles possèdent une face pile et une face face . Le 3ème truqué a deux faces face
On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de cette pièce. On note les événements suivants B: « la pièce est normale . »
B- : « la pièce est truquée. »
P : « on obtient pile au 1er lancer. »
Fn: « on obtient face pour les n lancers. »

Calculer la probabilité de P∩B puis de P∩B-. En déduire la probabilité de P
En remarquant que Fn= (FnB) U (FnB-), montrer que la probabilité de Fn est égale à $1/3(1+1/2^{n-1}$ )
Sachant qu'on a obtenu face pour les n premiers lancers, quelle est la probabilité d'avoir pris la pièce truquée. Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +oo?

MES REPONSES
1)PB= $p(B)p_B$ (P)2/31/2=1/3 P∩B-= ensemble vide
donc $p(P)=p_B$ (P)
2)Fn= (FnB) U (FnB-), et (FnB) et (FnB-), sont disjoints
$p (F n B) = p (B) < e m > p$ _B $Fn)=(2/3)(1/2)^n$

$p (F n B -) = p (B -) * p$ _{B-} $Fn)=(1/3)1^n$
p(Fn)=(FnB)+ (FnB-)
= $2/3)(1/2)^n$ + $1/3)1^n$
= $1/3(1+1/2^{n-1}$ )

mais ça me donne pas le résultat demandé, je ne vois pas mon erreur
$3)P_{Fn}$ (B-)= [p(FnB-]/p(Fn)
$1/3)/[(1/3)(1+1/2^{n-1}$ ]
$1/(1+1/2^{n-1}$ )
la limite de cette probabilité quand n tend vers+ est de 1
merci d'avance

Bonjour,

Je ne comprends pas bien tes expressions ! Une proba est un nombre compris entre 0 et 1 , l'ensemble vide est un ensemble (qui ne contient aucun élément) ce ne peut pa être une proba ......

On a le droit d'écrire que P(∅) = 0 si P(A) veut dire probabilité que l'évènement A se réalise

As tu fait un arbre , puisque tu parles de proba conditionnelles ?

Quand tu écris :

1)PB= p(B)pB(P)2/31/2=1/3 P∩B-= ensemble vide

Veux tu écrire :

p (P ∩ B) = p(B) * $p_B$ (P) = 2/3 * ??????

Il manque des caractères ∩ et = ......

oui je voulais écrire:
p (P ∩ B) = p(B) * $p_B$ (P) = 2/3 * 1/2= 1/3
p (P ∩ $B^_$)=0

je vous envoie mon arbre!

Salut bully,

Alors pour le 1) je suis ok pour p(P∩B) et p(P∩B-), qu'en déduis-tu alors pour p(P) finalement ?

Pour la 2), peux-tu réecrire ton raisonnement proprement ? Je suis désolé mais là c'est difficilement compréhensible...
Ton arbre m'a l'air bien et devrait pouvoir t'aider à faire la question.

Pour la 3) c'est ok

merci kanial

j'en déduis que p(P)=p(P∩B)

Fn= (FnB) U (FnB-), et (FnB) et (FnB-), sont disjoints
$p(FnB)=p(B)p_B$ (Fn)=(2/3)(1/2)n

p(FnB-)=p(B-)*pB-(Fn)=(1/3)1n
p(Fn)=(FnB)+ (FnB-)
= (2/3)(1/2)^n + (1/3)1^n
mais ca me donne pas $1/3)(1/2^{n-1}$ )

Salut bully,

Pour la 1) oui, et donc p(P)=...
Pour la 2) il faut que tu sois plus rigoureux(se) avec les notations, fais bien la distinction entre n (N) et ∩ (intersection), je ne suis par exemple pas du tout d'accord avec l'égalité Fn= (FnB) U (FnB-) écrite comme ça (si les n sot des interrsections c'est faux et si les n sont des N cela n'a pas de sens...), je te laisse voir comment tu pourrais améliorer ça !

je ne vois pas à quoi p(P) est égal
dsl pour la notation
Fn= (Fn∩B) U (Fn∩B-) : j'avais oublié les intersection
par contre, j'ai beau chercher je ne vois pas d'autres raisonnements :frowning2:

Tu connais la valeur de p(P∩B) (tu l'as écrit dans un post plus haut) et tu sais que p(P)=p(P∩B) du coup p(P) vaut...

Ok donc avec ces notations-là, ton erreur est qu'exprimer Fn en fonction de lui-même n'apporte rien, en effet tu ne connais pas $p_B$ (Fn) ni $p_{B-}$ (Fn) (attention Fn est la probabilité d'avoir n fois face d'affilée et non celle d'avoir face au n-ième lancer).
Comment calculerais-tu $F_1$ , $F_2$ ? Comment pourrais-tu généraliser ça ?

p(P)=1/3
F1=1/31/2+1/31
F2=1/3*(1/2^2)+1/3*1
Fn=1/3(1/2^n +1)
comme ça?

Non, Excuse moi j'avais mal lu la question... Ce que tu as écrit plus haut est juste (à part les écritures...). Mais ce que tu dois montrer c'est que $Fn=(1/3)(1+1/2^{n-1}$ ), donc il n'y a pas de problème... Si ?

non non tout va bien je suis ravie que cet exo soit terminé!!!
merci

bonjour^^
nous avons oubliés la dernière question:
3) Sachant qu'on a obtenu face pour les n premiers lancers, quelle est la probabilité d'avoir pris la pièce truquée. Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +oo?

ma réponse:
$p$ {Fn} $B^$ )=(1/3)^n
lim (1/3)^n =0
n→+00
est ce bon?

Ah non ce n'est pas bon... Par contre ce que tu avais proposé dans ton tout premier message était bon (c'est pour ça que je n'étais pas revenu sur cette question)

dsl j'étais sortie de l'exercice,j'aurai dû faire attention!!

Y a pas de mal Bonne continuation !