Etudier le sens de variation d'une fonction exponentielle et tracer sa courbe

[bully5]

Bonjour,
maintenant j'attaque les suites!!
On étudie la fonction f:x→ $(2x+1)e^{-x}$, puis on calcule, à l'aide d'une suite définie par récurrence, une valeur approchée d'une solution de l'équation f(x)=x
1.Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f, notée C, en précisant la position de C par rapport à son asymptote

ma réponse:

la fonction f est dérivable sur R
f'$(x)=2e$^{-x}$-(2x+1)e^{-x}$
f'$(x)=e^{-x}$(-2x+1)

---

x | - ∞ 1/2 | +∞

$e^{-x}$ | +
-2x+1| + 0 -
f'(x) | + 0 -

f(x)| croissante f(1/2) décroissante

f(x)-x est dérivable sur R:

g'(x)= $e^{-x}$(-2x+1)-1

x | -∞ 1/2 +∞

g'(x)| + 0 -
f(x)-x|fest au dessus de son asymptote f est en dessous de son asymptote

2.a) Montrer que l'équation f(x)=x admet deux solutions dont l'une notée alfa, appartient à l'intervalle I=[1; 5/4]

ma réponse:
Comme f est continue et strictement décroissante sur [1; 4/5]et comme 0 ∈ [f(1/2); +∞[ alors d'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur I

je pense que ce n'est pas ça mais y a t-il un lien avec ça?

b) Calculer f(1) et f(5/4) puis à l'aide du sens de variation de f, montrer que, pour tout x ∈ I, f(x) appartient à I.
$f(1)=3e_{-1}$ $f(5/4)=(7/2)e^{(-5/4)}$

il y a d'autres questions mais je pense que je posterai par la suite
merci d'avance

[Prof_maths31]

je suis de sortie ce soir
essaie de resoudre l'exo seule ou en t'aidant grace auc nbreux et gentils correcteurs de ce forum

je verrais ce que tu as fait ce soir ou demain

bon travail et bne chance

[bully5]

ok^^ y a pas de soucis...
bonne soirée

[Prof_maths31]

salut
avant d'aller me coucher je voulais te dire que ton calcul de f'(x) est juste et que les variations de f sont correctes (sauf etourderie)

mais pour la position relative de f par rapport à son asymptote c'est bizarre ,
on verra cela car j'ai pas trop le temps là : je te dis simpement que lim(x->+oo) f(x) = ... et la tu dois trouver l'equation de l'asymptote (mais bon je dis pas que c'est faux vu que j'ai pas le trop le temps de tout lire..

allez bne nuit!

[Zorro]

Bonjour,

Pour trouver les éventuelles asymptotes de C , il faut commencer par étudier les limites de f.

Et je te rappelle les définitions des asymptotes :

verticales :

Si ${\lim }_{x\to a},f(x),=,\pm \infty$ , alors on dit que la droite d'équation $x,=,a$ est une asymptote verticale à la courbe représentant la fonction f

horizontales :

Si ${\lim }_{x\to \pm \infty },f(x),=,b$ , alors on dit que la droite d'équation $y,=,b$ est une asymptote horizontale à la courbe représentant la fonction f

obliques:

Si ${\lim }_{x\to \pm \infty },[f(x),-,(ax,+,b)],=,0$ , alors on dit que la droite d'équation $y,=,ax,+,b$ est une asymptote oblique à la courbe représentant la fonction f

De plus la droite d'équation y = x n'est pas asymptote oblique à C !!!! As tu fait une représentation graphique de tout cela ?

[bully5]

bonjour,
oui j'ai tracé la courbe
merci pour ce rappel:
lim f(x)=0, alors la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe C en +∞
x→+∞
mais pourquoi on me demande la position de C par rapport à son asymptote en +∞?

[bully5]

bonsoir,
pour la 2a) c'est bien le Corollaire?

[kanial]

Salut bully,

Et pourquoi on te demanderait pas la position de l'asymptote par rapport à la courbe ? Tu sais les sujets demandent pas toujours des choses qui ont de l'intérêt...

Pour la 2) a), regarde la conclusion à laquelle tu aboutis...
Citation
f(x)=0 admet une unique solution sur I
et regarde la conclusion à laquelle il faudrait aboutir...
Comment pourrais-tu adapter ce que tu as fait pour arriver à une meilleure conclusion ?

[bully5]

lol ^^
je pensais qu'on le demandait que pour les asymptotes obliques, c'est pour ça que je me suis entêtée à en trouver une même si ça me semblait incohérent.
est ce que mon premier post sur la position relative de l'asymptote est bon?
2.a)
je pense que je dois étudier d'abord lorsque la fonction est croissante et étudier ensuite lorsqu'elle est décroissante pour trouver ses deux solutions, non?

[kanial]

Pour la 1), c'est en fait très étrange, parce qu'en étudiant la mauvaise fonction, tu arrives au bon résultat... Quelle fonction aurais-tu dû étudier ?

Pour la 2)a), oui mais quelle fonction ? Est-ce que l'étude de f est vraiment si intéressante ?

[bully5]

1. j'ai étudierf(x)-x, ce n'est pas la bonne?
   2a) je ne sais pas car dans la question il parle de f(x)=0?

[kanial]

1. Non, quelle est l'équation de l'asymptote, comment étudie-t-on la position de la courbe par rapport à l'asymptote ?

2. f(x)=0 dans la question ? Tu es sûr(e) ?

[bully5]

ah oui l'équation de l'asymptote est y=0 où avais-je la tête
donc je fais f(x)-0,

x | -∞ 0 +∞

f(x)|C est en dessous 0 C est au dessus

2. Oulala excuse moi j'ai regardé la ligne du dessous
   j'étudie lesigne de f(x)-x=0 non?

[oli]

(re)Bonsoir Bully,

Oui, ça a l'air bon pour la courbe. Effectivement, ce n'est pas sûr que ça te serve pour après, mais perso, je trouve ça intéressant comme info A toi de me dire pourquoi (en particulier, imagine la forme de ta courbe, et vois si ça concorde avec les variations de f)

Pour le 2, c'est bien ça : f(x) = x ⇔ f(x) - x = 0
Donc tu n'as plus qu'à étudier le signe de g(x) = f(x) - x ou bien "déduire des choses intéressantes" sur le signe de g(x)...

Bon courage !

[bully5]

Bonjour ,
pour la 1) tout va bien,merci
2a) ça correspond au signe de la 1) à savoir le signe de le courbe et de l'asymptote , qui corrspond à l'axe des abscisses
les solutions des équations f(x)=0 représentent les abscisses des points d'intersections entre la courbe c et le droite y=0
S={-0.5;
la =deuxième dans l'intervale [1; 5/4] il n'y en a pas ?

[kanial]

Pour la 1), je ne suis pas d'accord avec ce que tu as écrit, f ne change pas de signe en 0...

Pour la 2)a), encore une fois ce n'est pas la solution de l'équation f(x)=0 qui t'intéresse...

[oli]

Au temps pour moi pour la 1) (signe de f(x)-0 et position asymptote), j'ai lu trop vite...
:razz:

Pour la 2) on ne te parle plus de la droite d'équation y=0 d'ailleurs ? Relis ton énoncé attentivement et ton message 22h38 ("f(x) - x = 0"), tu avais l'air sur la bonne voie.

Bon courage pour la suite

[bully5]

Je suis totalement à côté de mes pompes !!

1. elle s'annule en 1/2 ( c'est le même tableau de variation que celui de la fonction?)

2)(x)-x est dérivable sur R:

g'(x)= $e^{-x}$(-2x+1)-1

x | -∞ 1/2 +∞

$e^{-x}$| +
(-2x+1)| + 0 -
g'(x)| + 0 -
g(x) crois. 0 décrois.
y a un truc qui cloche non??

[oli]

1. Ok, f'(x) s'annule bien en 1/2
2. Heu oui, il y a un problème : tu ne peux faire ton tableau de signes de cette façon que si g'(x) est sous une forme factorisée. Là on a quelque chose du genre :
   g'(x) = A(x) - 1 donc ce n'est pas factorisé...
   factorisé, je veux plutôt ça : g'(x) = B(x) * C(x)

Si tu es à côté de tes pompes c'est peut-être signe de devoir se reposer !

[bully5]

merci^^
je veux bien me reposer mes exo de maths m'appelle (la rentrée est dans une semaine et il me reste 6 exo!! et ils sont ramassés)
ah oui , c'est vrai :
$e$^{-x}$(-2x+1+e^x$)

x | -∞ ? +∞

e-x| +
$(-2x+1+e^x$)| - 0 +
g'(x)| - 0 +
g(x) décrois. 0 crois

[oli]

Étourderie, quand tu nous tiens...
Si tu développes ta factorisation, tu n'obtiens pas -1 mais +1...
Et comment fais-tu pour trouver le signe de $-2x+1+e^x$ ? Es-tu sure que ça ne s'annule qu'une seule fois sur IR ?

[bully5]

ah oui , et sur ma feuille j'ai marqué $-e^x$
pour trouver le signe je regarde sur ma calculette
elle doit s'annuler deux fois vu l'énoncé!
mais là elle ne s'annule quand 0

[oli]

Je n'ai pas dit qu'elle s'annulait deux fois
IR --> IR
x ---> $-2x+1-e^x$ est une fonction croissante, décroissante (ou rien du tout) sur IR selon toi ?
Et je te laisse le soin de démontrer ça proprement demain matin !

[bully5]

bonjour,

x| -∞ 0 +∞

$e^{-x}$| +

$-2x+1-e^x$| + 0 -

g(x) | -∞crois 1 décrois.-∞

la fonction g(x) admet deux solutions:
-1 sur ]- ∞; 0]
-1 sur [0; +∞[

[oli]

Bonjour Bully,

Tableau de signes : le résultat est bon.
Comment fais-tu pour trouver le signe de -2x + 1 - $e^x$ ?
Je ne vois toujours aucune justification Allez, ce n'est pas bien difficile

La fonction g(x) admet deux solutions
Je ne savais pas qu'une fonction admettait des solutions... C'est nouveau ?

[bully5]

-2x +1 $-e^x$ est décroissante, elle est au dessus de 0 dans ]-∞; 0] et en dessous dans [0;+∞[
je me suis mal exprimée
les solutions de l'équation f(x)=0 représentent les abscisses des points d'intersections entre la courbe c et le droite y=0
S={-0.67; 1.07}

[oli]

Très bien, -2x + 1 - $e^x$ est bien décroissante sur IR, mais comment tu sais ça ? Allez, ce n'est pas long, tu as deux méthodes pour me trouver ça.
Et effectivement, après, quand une fonction est strictement décroissante sur IR et qu'elle vaut 0 pour un certain x, alors ce sera positif avant le certain x, et négatif après.

Heu, on ne te parle pas de C et de la droite d'équation y = 0 mais uniquement de f(x) = x pour le moment...

[bully5]

$-2x+1-e^{-x}$=0
$-2x-e^{-x}$=-1
mais le $e^{-x}$ me gêne?

à part cette méthode et le corollaire des valeurs intermédiaires je ne vois pas d'autres méthodes

[oli]

Ce n'est pas $e^{-x}$ mais ...

Disons que tu as trouvé une solution évidente (x = ...)
Si en plus c'est strictement décroissant sur tout IR, alors c'est l'unique solution.
Comment fais-tu pour trouver qu'une fonction est décroissante (sens de variation) ?

[bully5]

ah oui $e^x$
la solution évidente c'est x=0
signe de a avant 0 et signe de -a après,

[oli]

Je ne connais pas cette façon de faire... sauf si c'est quelque chose du type ax + b mais c'est signe de -a avant et signe de a après...
Soit h : IR --> IR
h(x) = -2x + 1 - $e^x$
h est dérivable sur IR
h'(x) = ...
Pour tout x, h'(x) ... 0 (inférieur ? supérieur ?)
Donc h est décroissante sur IR

[bully5]

h'(x)= $-2-e^x$
h'(x)<0
à vrai dire je ne connaissais pas cette méthode, merci

[oli]

Mais si, tu connais cette méthode, c'est ce que tu fais quand on te demande de dresser les variations d'une fonction.
Seulement là, c'est une petite partie d'une fonction plus grande (mais également une fonction) et on ne te demande pas explicitement de le faire dans l'exercice.

Tu pouvais également dire que :
x --> -2x est décroissante
exponentielle est croissante donc x --> $-e^x$ est décroissante
Et si 2 fonctions sont décroissantes (x --> -2x et x --> $-e^x$), la somme des deux est décroissante. Car si je prends f(x) et g(x) décroissantes, alors
a < b ⇒ f(a) > f(b) et g(a) > g(b)
a < b ⇒ f(a) + g(a) > f(b) + g(b)
a < b ⇒ (f+g)(a) > (f+g)(b)
c'est-à-dire (f + g) décroissante...

D'où h(x) = -2x + 1 $-e^x$ décroissante (le + 1 ne change pas les variations évidemment)

Revenons maintenant à :
f(x) = x admet 2 solutions dont α ∈[1; 5/4]

[bully5]

oki , un point essentiel à retenir!

aaaaah ma partie préférée lol
on connait g(x)=0
on doit se servir de ça?

[oli]

Oui, ce qu'il faut retenir c'est que ça ne sert pas seulement quand on te le demande explicitement dans l'exercice !

Oui, on se sert de f(x) = x si et seulement si g(x) = 0
(ça ne veut pas dire qu'"on connaît g(x) = 0"...)

[bully5]

ok, mais on connait les variations de g(x) on sait que g(x) s'annule en 2 valeurs puisque la fonction est croissante et ensuite décroissante !

[oli]

Oui, mais qui te dit que par exemple : g(x) n'est pas tout le temps strictement positive (avec un maximum de 1 pour x=0) ? dans ce cas, elle ne passe jamais par 0 ? Idem si elle est strictement positive au moins d'un des deux côtés (avant x=0 ou après), ça ne te donne qu'une solution ?

Dans ton tableau de variations de 11:34, tu mets -∞ comme limites quand x tend vers ±∞. Comment tu as trouvé ça ?

[bully5]

la fonction n'est pas strictement positive, puisqu'elle est aussi négative: donc elle admet deux solutions!
lim f(x)-x=-∞
x→-∞
lim f(x)-x=0-∞=-∞
x→+∞

[oli]

D'accord pour les 2 limites.
Peux-tu préciser juste pour -∞ ?
Je sais, je t'embête mais tant que je ne suis pas sûr du raisonnement détaillé...

[bully5]

y a pas de soucis
lim(2x+1)=-∞
x→-∞
lim $e^{-x}$=+∞
x→-∞
limf(x)=-∞
x→-∞
lim x=-∞
x→-∞
lim f(x)-x= -∞
x→-∞