Nombre complexe et 3eme degré

Bonjour, je suis bloqué sur cette question :
"Déterminer une solution imaginaire pure $z_0$ =iy de P(z)=0"
sur cette équation : P(z)=z³+2(1-i)z²+2(1-2i)z-4i.
Je sèche complètement car je n'ai aucune idée de la méthode, pourriez vous m'aider.

Merci d'avance.

Salut

une suggestion de méthode :

il faut que $P(z_0$ ) = $z_0$ ³ + $2(1-i)z_0$ ² + $2(1-2i)z_0$ - 4i soit égal à 0.

avec $z_0$ = iy, tu as (iy)³ = -iy et (iy)² = -y².

en remplaçant, tu obtiendras une équation en y.

voilà

En effet, je n'avais pas pensé a ça, merci.
J'obtiens -2y²+4y+2i(y)²+iy-4i=0
Une fois l'équation obtenue , je ne sait plus si on factorise en y ou si on sépare les réel et les imaginaire, qu'on factorise en i.

Salut,

y étant un réel, tu peux séparer parties réelle et imaginaire. Chacune d'elle doit être égale à 0.

Je vois et donc après on a deux équations du second degré donc on fait les deux delta et on retrouve la solution qui correspond.
Ben voila je suis rebloqué je trouve $y_1$ =-2; $y_{2=0}$ ; $y_3$ =(-1-√33)/4 et $y_4$ =(-1+√33)/4, mais je ne sais pas quelle est la solution imaginaire pure , je sais juste que la partie réelle doit être égale à 0 donc on prend $y_2$ mais pour la suite...