Principe de raisonnement par récurrence.



  • Bonjour,

    Je suis en train de faire un exercice, mais je bloque à la troisième question (je mets tout l'exo au cas où ça pourrait servir) :

    On considère la suite (un(u_n) ${n∈$mathbb{N}$}$ définie par :
    u0u_0 = 5 et, pour tout entier n ≥ 1, unu_n = [1+ (2/n)]u</em>n1(2/n)]u</em>{n-1} + (6/n)

    1. a) Calculer u1u_1. [c'est fait u1u_1 = 21]

    2. b) Les valeurs de u2u_2, u3u_3, u4u_4, u5u_5, u6u_6, u7u_7, u8u_8, u9u_9, u10u_{10}, u11u_{11} sont respectivement égales à :
      45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
      A partir de ces donées conjecturer la nature de la suite (d(dn$){n∈$mathbb{N}$}$ définie par dnd_n = un+1u_{n+1} - unu_n. [c'est fait aussi j'ai trouvé dnd_n croissante (?)]

    3. On considère la suite arithmétique (v(vn$){n∈$mathbb{N}$}$ de raison 8 et de premier terme v0v_0 = 16.
      Justifier que la somme des n premiers termes de certte suite est égale à 4n² + 12n.

    [ c'est fait aussi j'ai fait v0v_0 = 16, vnv_n = v0v_0+8n = 16+8n. La somme des n premiers termes de la suite v vaut :
    vv0+v1+v_1+...+v</em>n1+v</em>{n-1} = [v0[v_0+Vn-1].n/2 = [16 + 16+8(n-1)].n/2 = (16+16+8n-8).n/2 = (8n+24).n/2 = (4n+12).n = 4n²+12n ]

    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :
      unu_n = 4n² + 12n + 5.

    2. Valider la conjecture émise à la question 1.b).

    Je bloque à la 3...

    J'ai fait l'amorce pour n = 0, mais l'hérédité, j'y arrive pas =/

    Si quelqu'un pouvais m'aider ça serai sympa.

    Merci d'avance,
    Nermine.



  • Personne ne peut m'aider ? 😞



  • Pixie-dust
    A partir de ces donées conjecturer la nature de la suite (d(dn$){n∈$mathbb{N}$}$ définie par dnd_n = un+1u_{n+1} - unu_n. [c'est fait aussi j'ai trouvé dnd_n croissante (?)]

    Salut

    La nature d'une suite, c'est dire si elle est arithmétique, géométrique ou qelconque.

    Calcule d0, d1, d2 d3 par ex, puis fais ce qu'il faut pour vérifier sa nature ...



  • J'ai calculé d0d_0, d1d_1, d2d_2, et d3d_3, et dn+1d_{n+1} n'est pas égal à unu_n + r ou unu_n x q. (sauf erreur très possible de ma part)

    Du coup c'est une suite quelconque ?



  • d0 = U1 - U0 = 16
    d1 = U2 - U1 = 24
    d2 = ... = 32
    d3 = ... = 40

    Calcule d1 - d0 puis d2 - d1 puis d3 - d2



  • Je vais devoir quitter.

    Je te donne donc queques tuyaux :

    d1d_1 - d0d_0 = d2d_2 - d1d_1 = d3d_3 - d2d_2 = 8

    On peut donc conjecturer que la suite (dn) est une suite arithmétique de 1er terme d0d_0=16 et de raison 8

    On constate que (dn) et la suite (Vn) de la question 2 sont égales.

    (Vn) est une suite arithmétique de 1er terme d0=16 et de raison 8, donc

    VnV_n = 16 + 8n

    De Plus VnV_n = dnd_n = Un+1U_{n+1}UnU_n d'après 1b)

    Donc Un+1U_{n+1}UnU_n = 16 + 8n ou encore :

    Un+1U_{n+1} = UnU_n + 16 + 8n

    C’est grace à cette égalité que tu pourras démontrer l’hérédité :

    • Supposons que pour un naturel n donné, UnU_n = 4n² + 12n + 5

    Alors Un+1U_{n+1} = UnU_n + 16 + 8n = 4n² + 12n + 5 + 16 + 8n = 4n² + 20n + 21

    Or 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 = 4n² + 20n + 21

    On a donc bien Un+1U_{n+1} = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5

    Bon courage pour la suite (sans jeu de mots)



  • J'ai compris ! Ca m'effraie un peu parce que quand je vois certains exo je me dis qu'il y a des choses qui me viendraient jamais à l'esprit. J'ai encore 4 pages d'exo en rab pour m'entrainer, je vais m'y mettre !

    Merci encore !



  • Salut Pixie-dust,

    J’ai dit une bêtise hier ! Dans ce que je t’ai proposé, j’utilise l’égalité : Vn = dn

    Or en 1b), on a simplement conjecturé que (dn(d_n) est une suite arithmétique de 1er terme d0d_0=16 et de raison 8, sans démonstration. On ne peut donc pas utiliser l’égalité VnV_n = Un+1U_{n+1}UnU_n.

    Et en fait, c’est justement l’égalité UnU_n = 4n² + 12n + 5 que l’on va démontrer au 3) qui servira à valider cette conjecture et c’est l’objet de la question 4).

    Je refais alors au propre la question 3) :

    On veut démontrer que la proposition (Pn) : UnU_n = 4n² + 12n + 5 est vraie pour tout entier naturel n.

    • Initialisation :
      Pour n=0
      4n² + 12n + 5 = 5 = U0U_0
      (Pn) est vraie pour n=0

    • Hérédité
      Supposons que pour un entier naturel n donné, UnU_n = 4n² + 12n + 5

    Alors :

    un+1u_{n+1} = [1+ (2/(n+1))]Un(2/(n+1))]U_n + [6/(n+1)]

    un+1u_{n+1} = [(n+<strong>3</strong>)/(n+1)]Un[(n+<strong>3</strong>)/(n+1)]U_n + [6/(n+1)]

    un+1u_{n+1} = [(n+3)/(n+1)][ 4n²+12n+5] + [6/(n+1)] en remplaçant UnU_n par 4n² + 12n + 5

    un+1u_{n+1} = (4n3(4n^3+24n²+41n+21) / (n+1)

    A ce stade, si on pouvait simplifier par n+1, ça nous arrangerait bien ... et on constate justement que -1 est racine du numérateur, on peut donc factoriser ce numérateur par (n+1) ce qui nous donne :

    un+1 = [(n+1)(4n²+20n+21)] / [n+1]

    un+1 = 4n²+20n+21

    Or 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 = 4n² + 20n + 21

    On a donc bien Un+1U_{n+1} = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 et la proposition (Pn) est vraie pour n+1.

    Conclusion :
    (Pn) est vraie pour n=0
    De plus, si elle est vraie pour un naturel n donné, alors elle est vraie pour n+1.
    Donc, (Pn) est vraie pour tout entier naturel n

    1. Grace à ce résultat, on peut exprimer (dn) de façon explicite (en fonction de n) :

    dnd_n = Un+1U_{n+1}UnU_n = 4n²+20n+21 – (4n² + 12n + 5) = 8n+16 = d0d_0 + 8n

    (dn) est donc bien une suite arithmétique de 1er terme d0=16 et de raison 8. La conjecture émise à la question 1.b) est validée.

    J’avais mis la charrue avant les bœufs ... désolé pour la coquille.

    Merci de confirmer que tu as lu ce rectificatif.



  • J'ai bien vu ta rectification. Mais dans l'hérédité j'ai pas vraiment compris comment tu mets n+1 en facteur.

    Je sais pas comment calculer les racines d'un polynôme du troisième degré, du coup je peux pas dire que la racine est -1, non ?



  • Bonsoir,

    Pour la factorisation tu cherches les nombres a, b et c qui vérifient
    4n^3+24n²+41n+21= (n+1)(an²+bn+c)



  • Merci ! Normalement tout va bien j'ai compris le raisonnement.

    Merci encore Cosmos et Babgeo. J'ai encore pas mal de boulot donc si je veux dormir cette nuit je ferai bien de continuer !

    Nermine.



  • Pixie-dust
    ...Je sais pas comment calculer les racines d'un polynôme du troisième degré, du coup je peux pas dire que la racine est -1, non ?
    On ne résous pas le polynome du 3ème degré. On se contente de vérifier que -1 est racine :

    Pour n=-1, alors 4n34n^3+24n²+41n+21 = 4(1)34(-1)^3+24(-1)²+41(-1)+21 = -4+24-41+21 = 0

    Pour trouver ensuite la factorisation, on procède par identification comme l'a montré Noémi.



  • J'ai exactement le meme exercice pour mercredi et je cherche depuis 1heure la question 2 qui est déja corrigé mais je ne comprend pas toute seule... Dans mon cours de 1ereS la somme des termes est égale a (n+1)* ((u((u_0+Un+U_n)/2) et je vois qu'ici la formule et differente et je la cherche partout mais je ne comprend pas du tout ...
    Et la relation de recurence je l'ai comprise mais je ne comprend pas le calcul.
    Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait...



  • Salut,

    Nanouf59
    Dans mon cours de 1ereS la somme des termes est égale a (n+1)* ((u((u_0+Un+U_n)/2) et je vois qu'ici la formule et differente et je la cherche partout mais je ne comprend pas du tout ...

    Ton cours de 1ère dit vrai . . . et la formule ici aussi. Mais alors quépassa ?

    Il faut apprendre 2 trucs et sous cette forme :

    1] UpU_p + Up+1U_{p+1} + . . . + UnU_n Le nombre de termes = n-p+1

    2] La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique est :

    S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2

    Et puis c’est tout ! C'est ça qui est cool en math, t'apprends 2 trucs et tu survis tout un trimestre. Mais il faut adapter à chaque cas.

    3 exemples, toujours pour une suite arith et ce sera clair :


    1er terme U0U_0

    S : somme des n premiers termes

    S = U0U_0 + U1U_1 + . . . + Un1U_{n-1}
    ben oui ! nombre de termes = (n-1)-0+1 = n

    Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = n x (U0(U_0 + Un1U_{n-1})/2

    --> C’est le cas de l’exo ici.


    1er terme U1U_1

    S : somme des n premiers termes

    S = U1U_1 + U2U_2 . . . + UnU_n
    nombre de termes = n-1+1 = n

    Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = n x (U1(U_1 + UnU_n)/2

    --> Ce n’est ni le cas de l’exo, ni celui de ton cours


    1er terme, on revient à U0U_0

    S : somme des n+1 premiers termes

    S = U0U_0 + U1U_1 + . . . + Un1U_{n-1} + UnU_n
    nombre de termes = n-0+1 = n+1

    Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = (n+1) x (U0(U_0 + UnU_n)/2

    --> C’est la drôle de formule de ton cours.

    Mais ton/ta prof a dû aussi donner la formule générale, non ? Un truc du genre :

    $S_{p->n}$ = (n-p+1) x (Up(U_p + UnU_n)/2

    Ca y est, je vois que tu as tout compris ! 😉

    Nanouf59
    Et la relation de recurence je l'ai comprise mais je ne comprend pas le calcul.
    Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait...

    La réponse de babgeo est pourtant très détaillée, mais je me permets de pomper sa réponse et de compléter les quelques lignes qu’il te manque peu-être pour piger et j’insère les compléments de babgeo et de Noémi au bon endroit :

    babgeo

    • Hérédité
      Supposons que pour un entier naturel n donné, UnU_n = 4n² + 12n + 5

    Par définition : unu_n = [1+ (2/n)]Un1(2/n)]U_{n-1} + [6/n]

    Alors :

    un+1u_{n+1} = [1+ (2/(n+1))]Un(2/(n+1))]U_n + [6/(n+1)]

    un+1u_{n+1} = [(n+1)/(n+1)]Un[(n+1)/(n+1)]U_n + [6/(n+1)]

    un+1u_{n+1} = [(n+1)/(n+1)][ 4n²+12n+5] + [6/(n+1)] en remplaçant UnU_n par 4n² + 12n + 5

    un+1u_{n+1} = (4n3(4n^3+24n²+41n+21) / (n+1)

    On constate que -1 est racine du numérateur (suffit d’un oeil bionique).

    **En effet :
    Pour n=-1, 4n34n^3+24n²+41n+21 = 4(1)34(-1)^3+24(-1)²+41(-1)+21 = -4+24-41+21 = 0
    On peut donc factoriser ce numérateur par (n+1) : Voir cours polynôme 1èreS.
    -1 est racine du numérateur, il existe donc trois réels a, b et c tq :
    4n34n^3+24n²+41n+21 = (n+1)(an²+bn+c)

    Tu développes et réduis :

    4n34n^3+24n²+41n+21 = an3an^3+(a+b)n²+(b+c)n+c

    Par identification, on obtient :
    A= 4 ; c=21 et b=20 et 4n34n^3+24n²+41n+21 = (n+1)(4n²+20n+21)**

    On reprend notre calcul du rang n+1 :

    un+1 = [(n+1)(4n²+20n+21)] / [n+1]

    un+1 = 4n²+20n+21

    **Là on est au bout. Mais ce n’est pas tout à fait ça que l’on veut, on a besoin de montrer que :

    un+1 = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5

    Alors on va montrer que 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 et 4n² + 20n + 21 c’est kif kif en faisant un simple calcul :**
    Or 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 = 4n² + 20n + 21

    On a donc bien Un+1U_{n+1} = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 et la proposition (Pn) est vraie pour n+1.

    Conclusion :
    (Pn) est vraie pour n=0
    De plus, si elle est vraie pour un naturel n donné, alors elle est vraie pour n+1.
    Donc, (Pn) est vraie pour tout entier naturel n

    Et bien voilà ... Tout s'éclaire. 😉



  • Merci d'avoir pris le temps de detaillé le calcul!!!
    . En soi j'ai pigé le truc a faire. Juste un truc me tracasse dans le calcul de Un+1U_{n+1} On trouve (Un+1/Un+1)Un+(6/n+1)
    Comment vous passer de 1+(2/n+1) a (n+1/n+1)...?? Ce doit etre trés simple mais je n'y arrive pas... Et c'est cela qui me bloque dans mon calcul...



  • Salut Nanouf,

    C'est en fait une erreur, babgeo voulait écrire (n+3)/(n+1), c'est d'ailleurs ce qu'il utilise dans la suite de son calcul... Peut-être que tu verras mieux d'où ça sort comme ça !



  • Bonjour,

    C’est une coquille de ma part effectivement.
    J’ai rectifié mon post du 21/09.

    Désolé.


 

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