Déterminer les solutions d'une équation dans le plan complexe

Bonjour à tous, je n'arrive pas à commencer mon exercice ...

Je dois déterminer les points d'affixe z, telle que z² = 2i(z barre)
L'un des points est O, et on note A, B, et C les autres.
Placer ces points et montrer que ABC est un triangle équilatéral de centre O .

J'ai développé en posant z = x + iy et donc zbarre = x - iy mais je ne sais pas où ça me méne ...

Merci d'avance !!

En développant z² = 2 i zbar avec z = x + iy,
Tu dois tomber sur une équation.

En faisant passer tous les termes d'un côté, tu tombes sur z = 0 avec x et y à déterminer (tu dois savoir faire, je pense).

Ensuite, il suffit d'appliquer la propriété suivante :

Citation
z = 0 ssi Ré(z)=0 et Im(z)=0

Tu as alors un système.. Etc..

A toi de faire la suite

$_{Ps: Je l'ai fait, et ça marche.}$

Je trouve x²-y²-2y+(-2x-2xy)i=0 ?

J'avais trouvé :

x²-y²-2y+(**+**2x-2xy)i = 0

C'est peut-être moi qui ai fait une erreur. Donc ensuite, il te reste à appliquer la propriété que j'ai cité plus haut.

Je viens de le recalculer et je trouve bien x²-y²-2y+(-2x-2xy)i=0 ... enfin bon c'est pas ce qui importe vraiment !

Donc soit x²-y²-2y = 0
et -2x-2xy = 0 ?

C'est bien ça ?

Bonjour,

Moi je trouve :
x²-y²-2y+(2xy-2x)i = 0

Oui, exact j'ai fait une erreur de signe c'est bien ça merci !

euh non en fait vu que i² = -1 !!

Mais on a pas de i² dans la partie imaginaire de z. Car justement, i²=-1 et -1 ∈ $mathbb{R}$

J'ai refait le calcul et je trouve bien x²-y²-2y + i(2xy-2x) = 0

Donc Ré(z) = x²-y²-2y
Et Im(z) = 2xy-2x

Et il faut Ré(z) = Im(z) = 0 pour que z = 0 dans $mathbb{C}$

Donc :

x²-y²-2y = 0
2xy-2x = 0

A toi de résoudre le système !

Bah quand on développe :

(x+iy)² = 2i(x-iy)
équivaut à x² - y² + 2xiy = 2ix + 2y
équivaut à x² - y² + 2xiy - 2ix - 2y = 0
Soit : x² - y² - 2y + (2xy-2x)i = 0

Oui, désolée je m'emméle les pinceaux, vous avez raison !

Donc ensuite pour résoudre le systéme je peux faire passer les carrés de l'autres coté à celle du haut et aprés multiplier ?

Eh bien, pour le système, je te conseille de commencer par la 2ieme égalité puisque tu es capable de la résoudre contrairement à l'autre.

Donc tu as

2xy - 2x = 0 ⇔ 2x(y-1) = 0 ⇔ x= 0 et y = 1

En suite tu cherches les solutions de la 1re égalité dans chacun des cas.
C'est-à-dire lorsque x = 0, puis lorsque y = 1

Cela te fera deux nouveaux systèmes.

2xy - 2x = 0 ⇔ 2x(y-1) = 0 ⇔ x= 0 et y = 1
→ ça j'avais réussi en factorisant comme vous l'avez fait

Pour la 1ére équation :
Si x = 0 : alors -y²-2y = 0
Y² = -2y
Si y est positif , c’est impossible car carré toujours positif
Si y est négatif, c’est possible car – par – ça fait + et l’égalité devient alors possible

Si y = 1 : alors x²-1-2 = 0
Soit x² = 3
Soit x=√3 ou x=-√3

C'est bon ?

Noémie, savez vous si ma suite est bonne ou pas ?

Meredith
Noémie, savez vous si ma suite est bonne ou pas ?

si x=0
-y²-2y=0
donc y²+2y=0
donc y(y+2)=0
donc y=0 ou y=2=0
donc y=0 ou y=-2

si x=1
-y²-2y+1=0
par la méthode des discriminants (que je ne développerai pas)
y=-1+√3 ou y=-1-√3

S={-2;0;1+(-1+√3)i;1+(-1-√3)i}

si x=1
-y²-2y+1=0
par la méthode des discriminants (que je ne développerai pas)
y=-1+√3 ou y=-1-√3

Ce n'est pas y qui est plutot égal à 1 ?

Merci Lohot mais je crois que Fauu a raison non ? C'est plutot y=1 non ?

Quelques erreurs que je corrige :

Si x=0
-y²-2y=0
donc y²+2y=0
donc y(y+2)=0
donc y=0 ou y+2=0
donc y=0 ou y=-2

Exact ensuite c'est y = 1

Donc : Si y = 1 : alors x²-1-2 = 0
Soit x² = 3
Soit x= √3 ou x=-√3

Si y = 1 : alors x²-1-2 = 0
Soit x² = 3
Soit x=√3 ou x=-√3

Il reste à écrire l'ensemble solution.

Oui, donc pour les points,
comme y=0 ou y=-2
et x=√3 ou x=-√3

Sa fait quoi ? Genre A(√3;?)
et B(-√3;?) , C(?;0) et D(?;-2) et il faut déterminer les x et y manquants ?

A chaque x tu associes le y correspondant.

si x=0
-y²-2y=0
.....
donc y=0 ou y=-2
Soit (0;0) et (0;-2) ou
pour z : 0 ; -2i

Merci, et ensuite pour le triangle équilatéral je calcule les modules et montre qu'ils sont égaux pour les 3 cotés ?

Tiens compte du fait que le triangle équilatéral est de centre O.