Divisibilité : suite auxiliaires spé maths
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Pprinsca dernière édition par
J'ai un Dm de spé maths et je suis un peu perdue
j'y arrive pas je suis bloqué à la question 2
aider moi s'il vous plait !!!
Voici l'énoncé :
Soit (Un) la suite définie par Uo ≥ 4 et pour tout entier naturel n Un+1 = 2Un – 3- Soit (Vn) la suite définie par : pour tout entier naturel n Vn = Un – 3.
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
b. En déduire l’expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n.
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Déterminer les entiers naturels Uo tels que pour tout entier naturel n, 3Un3^{Un}3Un est le cube d’un entier naturel.
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On suppose que Uo = 4.
Déterminer toutes les valeurs de n telles que 3Un3^{Un}3Un– 1 est un multiple de 11.
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Pprinsca dernière édition par
j'ai trouvé
1)A. Vn+1 = Un+1 - 3
Vn+1 = 2Un - 3 - 3
= 2Un - 6
= 2(Un - 3)
= 2Vn
donc (Vn) est une suite géométrique de raison 2.B. Vn = Vo x (2)n(2)^n(2)n
on a Vo = (Uo - 3)
Donc Vn = (Uo - 3) x (2)n(2)^{n }(2)nUn = Vn + 3
Donc : Un = (Uo - 3) x (2)n(2)^n(2)n + 3Aider moi pour la suite s'il vous plait !!
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Pprinsca dernière édition par
Besoin d'aide s'il vous plait !!
:frowning2:
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Zauctore dernière édition par
salut
comment traduire le fait que 3n\small 3^{n}3n soit un cube ?
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Pprinsca dernière édition par
Le petit 3)
il faut trouver des réels tels que 3un3^{un}3un = n3n^3n3
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Des réels ? Des entiers suffiront je pense ici...
Et si je te dis décomposition en facteurs premiers, est-ce que tu vois où je veux en venir ?
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Llohot dernière édition par
- Pour que 3un3^{u_{n}}3un soit un cube, il faut que 3 divise unu_nun
3 ∣ un ↔ 3 ∣ (u0−3) 2n + 3 ↔ 3 ∣ u0 − 3 ↔ ∃ k∈z ∣ u0 − 3 = 3k ↔ ∃ k∈z ∣ u0 = 3k + 33 \ | \ u_n \ \ \ \leftrightarrow \ 3 \ | \ \left( u_0-3 \right) \ 2^{n} \ + \ 3 \ \ \ \leftrightarrow \ 3 \ | \ u_0 \ - \ 3 \ \ \ \leftrightarrow \ \exists \ k \in \mathbb{z} \ | \ u_0 \ - \ 3 \ = \ 3k \ \ \ \leftrightarrow \ \exists \ k \in \mathbb{z} \ | \ u_0 \ = \ 3k \ + \ 33 ∣ un ↔ 3 ∣ (u0−3) 2n + 3 ↔ 3 ∣ u0 − 3 ↔ ∃ k∈z ∣ u0 − 3 = 3k ↔ ∃ k∈z ∣ u0 = 3k + 3
11 ∣ 3un − 1 ↔ 3un − 1 ≡ 0 [11] ↔ 3un ≡ 1 [11] ↔ 32n+3 ≡ 1 [11]11 \ | \ 3^{u_n} \ - \ 1 \ \ \ \leftrightarrow \ 3^{u_n} \ - \ 1 \ \equiv \ 0 \ \left[ 11 \right] \ \ \ \leftrightarrow \ 3^{u_n} \ \equiv \ 1 \ \left[ 11 \right] \ \ \ \leftrightarrow \ 3^{2^n+3} \ \equiv \ 1 \ \left[ 11 \right]11 ∣ 3un − 1 ↔ 3un − 1 ≡ 0 [11] ↔ 3un ≡ 1 [11] ↔ 32n+3 ≡ 1 [11]
Après plusieurs essais successifs de n, on se rend compte que n=4k+1.
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Quelques petites remarques sur la réponse de lohot
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"il faut que", ne serait-ce pas aussi suffisant ? Tel que tu l'as écrit il faudrait vérifier que ta solution marche...
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En maths, on ne peut pas démontrer un résultat en disant "en essayant, on voit que..." on demande ici une démonstration complète !
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Pprinsca dernière édition par
merci beaucoup !!!
