Arithmétique : Congruence et chiffre des unités

[lohot]

Bonjour,

Je viens de démontrer que

$\text{pour tout }n\in rn\left(n^4-1\right)\equiv 0\left[5\right]$

et on me demande d'en déduire que

$n^{p+4}$ et $n^p$ ont même chiffre d'unité.

Sans le terme déduction, je serais passé par les congruences modulo 10.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance.

[Noemi]

Bonjour

n est un réel ?

Et avec n^(p+4) = n^p * n^4

[lohot]

Quelques petites corrections à mon sujet

$n\in n^{<em>}p\in n^{</em>}$

J'avais pensé faire

$n^{p+4} \equiv n^{p} \ \left[10\right] \ \ \ \leftrightarrow \ n^{p+4} - n^{p} \equiv 0 \ \left[10\right] \ \ \ \leftrightarrow \ n^{p-1}\left[n\left(n^{4}-1\right)\right] \equi 0 \ \left[10\right]$

pour faire apparaître les hypothèses, tout en sachant que

$n\left(n^4-1\right)\equiv 0\left[10\right]$ ou $n\left(n^4-1\right)\equiv 5\left[10\right]$.

Si $n\left(n^4-1\right)\equiv 0\left[10\right]$, c'est terminé. Par contre, pour $n\left(n^4-1\right)\equiv 5\left[10\right]$, je ne m'en sort pas.

[kanial]

Salut lohot,

Ce que tu as écrit manque un peu de cohérence (aucun lien entre les différentes lignes que tu écris, pas d'explication sur le raisonnement...) mais tu sembles avoir compris.
Pour ton problème, si $n\left(n^4-1\right)\equiv 5\left[10\right]$ cela signifie que $n\left(n^4-1\right)$ est impair, que cela implique-t-il pour n ? Quelle est alors la parité de $n^4$-1 ?

[lohot]

J'ai trouvé la solution en repartant :

$n^{p-1}\left[n\left(n^4-1\right)\right]\equiv 0\left[10\right]$

Il suffit de montrer que $n\left(n^4-1\right)$ est un multiple de 2 en plus de 5. Comme 2 et 5 sont premier entre eux, $n\left(n^4-1\right)$ est un multiple de 10.

si $n\equiv 0\left[2\right]$
donc $n\left(n^4-1\right)\equiv 0\left(0^4-1\right)\equiv 0\left[2\right]$

si $n\equiv 1\left[2\right]$
donc $n\left(n^4-1\right)\equiv 1\left(1^4-1\right)\equiv 0\left[2\right]$