Etude des variations et encadrement d'une fonction exponentielle

[louli1]

bonsoir à tous, j'ai un exo que je n'arrive pas à faire, on considère la fonction f(x)=sinx-(2/∏)x définie pour tt x appartenat à l'intervalle 0 fermé ∏/2 fermé

1. Déterminer f'(x) et f''(x), dérivée 1ere et 2de de f(x) sur l'intervalle 0 fermé ∏/2 fermé
   2)Montrer que f'(x) est strictement décroissante sur l'intervalle 0 fermé ∏/2 fermé et dresser son tableau de variation
2. montrer qu'il existe un réel alpha tel que f'(alpha)=0 et donner à l'aide de la calculette un encradrement à 10-³ près. Et en déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle 0 fermé ∏/2 fermé.
3. Déduire de ce qui précède les variations de f(x) que l'on résumera dans un tableau.
4. Démontrer que pour tt x appartenant à l'intervalle 0 fermé ∏/2 fermé on a sinx≥(2/∏)x

pour le 1) j'ai trouvé f'(x)=cosx-2/∏
et pour f''(x)=-sinx est ce que le début est juste?

[Noemi]

Bonsoir,

Le début est juste.

[louli1]

ok merci

[louli1]

qui peut m'aider svp !!

[Zorro]

Bonjour,

Avec f "(x) tu peux trouver le tableau de variation de f ' , non ?

[louli1]

2. en faisant un tableau de variation de f''(x) j'ai trouvé que sur 0;∏/2 f''(x) est négatif donc que f'(x) est décroissant, ce qui est vrai avec la vérification par la calculette.

3. Je trouve pas car selon la calculette f(0)=0,36338 et f(∏/2)≈0,363 et la courbe ne coupe pas une seule fois l'axe des abscisses !! Comment faire, c'est peut etre moi qui ait fait une faute

4. je sais pas comment démontrer apart avec le tableau de variations, j'ai trouvé que f'(x) était négatif sur 0;∏/2 donc que f est décroissante sur 0;∏/2 c'est ça?

5. je cherche

[Iron]

Bonsoir,

louli1
3) Je trouve pas car selon la calculette f(0)=0,36338 et f(∏/2)≈0,363 et la courbe ne coupe pas une seule fois l'axe des abscisses !! Comment faire, c'est peut etre moi qui ait fait une faute

2. Ok, f' est décroissante sur Df

Pour la 3) c'est de la fonction f' qu'il s'agit et non pas f !

f'(0) = ($pi$-2)/$pi$ > 0
f'($pi$/2) = -2/$pi$ < 0

Il te faut encore montrer que f' est continue sur Df et il me semble que tu peux maintenant utiliser un théorème bien utile, non ?
Soigne la rédaction pour cette question.

PS : N'utilise la calculette que pour vérifier, travaille avec les valeurs exactes OK?

[louli1]

ok ok ça marche merci bcp
donc la 3) bon comme f' est construite à partir de fonction polynomes, trigonométriques et ceci par soustraction, elle est continue sur l'intervalle 0;∏. ?

Et j'utilise le théorème des valeurs intermédiaires donc : 0 est compris entre f'(0) et f'(∏/2) donc d'ap le théoreme des fonctions intermédiaires , l'équation f'(x)=0 admet une seule solution sur l'intervalle 0;∏/2 ?

[louli1]

le theoreme des valeurs intermédiaires pardon

[louli1]

re désolé je me suis trompée c'est d'apres le corrolaire des valeurs inermédaires

[louli1]

j'ai trouvé l'encadrement à 10-³ pres de alpha , 0,880<ALPHA<0,881 voilà

[Iron]

C'est même ici le théorème de la bijection car f' est strictement décroissante et la solution est donc unique sur l'intervalle Df.

Désolé, je dois quitter

Bonne continuation.

[louli1]

0,880 < ALPHA < 0,881

[Iron]

Oui, c'est correct.

Pour le signe de f', utilise le tableau de variation.