Déterminer les degrés de polynômes

bonjour je ne comprends pas ce qu'il faut faire

1.a. soient a et b 2 reels et n un entier naturel , n >2 ( ou égal) demontrer lidentité :

$a$ ^n $b^n$ = $(a - b) (a$ ^{n-1} $a^{n-2}$ b+... $+ a b$ ^{n-2} $b^{n-1}$ )

b. detaillez les egalites pour n=2 et n=3

2.on pose $P (x) = a$ n $x^n$ $+ a$ {n-1} $x^{n-1}$ +...+ $a_1$ x $a_0$ avec n>1 (ou égal a 1) et $a_n$ différent de 0
a. en utilisant la question 1 demontrer que P(x)-P(a) se factorise par (x-a) pour tout réel a.

b. en deduire que pour tout polynome P(deg >P1)(ou égal a 1) il existe un poynome Q (deg Q < deg P) tel que P(x)=(x-a)Q(x) + P(a)

c. etablir le resultat fondamental :
"un polynome P de degré supérieur ou egal a 1 peut se factoriser par x-a si et seulement si P(a)=0"

merci de votre aide

Bonjour,

Question 1a développe la partie de droite (a-b)(an-1+an-2b+...+abn-2+bn-1)

Oui , c'est ce que j ai essayé de faire mais comment developper avec les n-1 ? merci

Bonjour,

L'écriture avec des "..." n'est pas pratique. Essaie d'écrire le membre de droite à l'aide du symbole : ∑ . Tu y verras surement plus clair.

Bon courage

(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1)=
a^n -a^(n-1)b + a^(n-1)b-a^(n-2)b^2+ .....

Noemi
(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1)=
a^n -a^(n-1)b + a^(n-1)b-a^(n-2)b^2+ .....

J'allais te conseiller la même chose que studypass:
écris ta formule $(a$ ^{n-1} $na^{n-2}$ +b² $a$ ^{n-3} $+ b$ ^3 $a^{n-4}$ +..... sous la forme de ∑ $a$ ^{n-k} $b^k$ pour k variant de 1 à n-1

sous cette forme, le résultat attendu t'apparaîtra de façon plus directe lorsque tu multiplieras cette somme ∑ par (a-b).
Tu peux sur une ligne multiplier par a
et une seconde ligne du multiplie par b
trace un trait et effectue la soustraction, tu verras que les termes s'éliminent deux à deux pour qu'il ne reste plus au final que ..... $a$ ^n $_b^n$

Merci , pour a avec a jai compris le systeme des puissances , mais lorque que jai a*b^(n-1) , je note ab^(n-1) ?

je ne comprends pas bien la question...
on n'est bien sûr pas obligé de noter le produit ab sous la forme a x b
de même que qd vous résolvez une équation, vous n'écrivez pas 3xa mais 3a

au passage, notez que j'ai commis une petite faute de frappe dans ma formule : il s'agit bien de
$a$ ^{n-1} $ba^{n-2}$ +b² $a$ ^{n-3} $+ b$ ^3 $a^{n-4}$ +..... = ∑ $a$ ^{n-k} $b^k$ pour k variant de 1 à n-1

merci , jai enfin réussit cette premiere question , et les autres jai commencé , mais la 2eme lorsque n=2 je trouve : (a-b)(a^(2-1)+a^(2-2)b+...+ab^(2-2)+b^(2-1)=a²-b² mais mon proffesseur ma dit expliciter les ... mais comment ??

Simplifie l'écriture a^(2-1) = ....

j'obtiens a^1 +a^1 + ..+ ab^1+b^1 ? Mais que dois je faire a la place des .. ?

souvenez vous que $a^1$ =a; $b$ ^{2-2} $b^0$ =1 : vous retrouvez votre identité remarquable a²-b²à(a-b)(a+b)

Une remarque :
Pour écrire la deuxième parenthèse, elle contient n termes avec
pour a des exposants décroissants de 1
pour b des exposants croissants de 1
à noter que a^0 = 1 ; b^0 = 1

exemple pour n = 5
a^5- b^5 = (a-b) (a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)

pour n =2
a²-b² = (a+b+a^(-1)b²+ab^3+b^4

C'est comme ça ?

Tu as lu la remarque ?

Si n = 2, Deux termes entre parenthése, soit a+b
Donc a²-b²= (a-b)(a+b)

Cherche pour n = 3

n=3

(a-b) (a²+ab+...+ab+b² ?

Si n = 3, tu dois écrire trois termes dans la deuxième parenthèse.
Donc rectifie.

(a-b) (a²+2ab+b²) ?

Non
Il n'y a pas de coefficient.

(a-b) (a²+ab+...+ab+b² ?
alors ab+...+ab devient quoi ?
pour moi ab+ab =2ab et je laisse a² et b² tel quel.
comme ce n'est pas ça , comment dois-je reduire ab+...+ab ?

Tu n'as pas compris la formule.
Pour n = 3, la deuxième parenthèse ne comprend que 3 termes !!!
a²+ab+b²
donc
a³-b³= (a-b)(.....

effectivement e n'ai pas suivi --'
a³-b³= (a-b)(a²+ab+b²) ?

C'est juste.
tu peux passer à la question 2
Ecris P(a)

p(a)= $x$ n $a$ ^n $+ x$ {n-1} $a^{n-1}$ +... $+ x$ _1 $a+x_0$

Ecris P(x)-P(a)

P(x)-P(a) = $X$ n $(x$ ^n $- a$ ^n $) + X$ {n-1} $(x$ ^{n-1} $a^{n-1}$ )+...+X(x-a)

A quoi correspond Xn ?

P(x) = $Xnx^n$ ....

ici , le X remplace une lettre grecque de l'expression p(x)

Mais : pose $P (x) = a$ _n $x^n$ +...

P(x)= $a$ n $x^n$ + $a$ {n-1} $x^{n-1}$ +...+a1x+a0

Donc P(x) - P(a) = .....

si ce nest pas ce que jai écrit toute a lheure , je ne vois pas --'

Oui
P(x)-P(a) = $a$ n $(x$ ^n $- a$ ^n $) + a$ {n-1} $(x$ ^{n-1} $a^{n-1}$ )+... $a_1$ (x-a)

Tu utilises le résultat de la question 1

Ok merci.un ami ma donnéla suite d ela question et a la 2/b jai trouvais :
p(x)-p(a) = (x-a)Q(x)
d' ou p(x)=(x-a)Q(x)+p(a)

mais je ne sais pas comment intégré deg Q dans lexpression --'

A quoi est égal Q(x) ?

q est un polynome deg Q< deg P tel que
p(x) = (x-a) Q(x) + P(a)

ou dois je place deg Q svp ?

Tu écris P(x) - P(a) et tu déduis Q(x)

oui je lai fait pour la question précédante mais le DEg , comment dois je l utiliser ? --'

Ecris Q(x) en fonction de x