Trinôme du second degré - etude de la courbe représentative



  • Bonsoir,

    J'ai un devoir maison dont je n'arrive pas à trouver la solution. Le sujet :
    "On considère les paraboles d'équation y=x2+bx+1y = x^2 + bx + 1. Donner les coordonées de leur sommet et montrer qu'ils sont situées sur la courbe représentative de la fonction xx2+1x \rightarrow -x^2+1"

    Comme sommet j'ai trouvé (b2;b244)(\frac{-b}{2}; \frac{-b^2-4}{4}).
    Je n'arrive pas à prouver que les paraboles d'équation sont situées sur la courbe représentative de xx2+1x \rightarrow -x^2+1.

    Si quelqu'un pouvait m'aider ...

    Merci d'avance 😄



  • Bonjour,

    et si tu essayais de montrer que

    ,b24,4,=,(b2)2,+,1\frac{,-b^2-4,}{4} ,=, -(\frac{-b}{2})^2,+,1



  • Merci de ta réponse.

    En devellopant je trouve : (b24)4=b241=(b2)21=(b2)2×(1)1×(1)=(b2)2+1\frac{(-b^2-4)}{4}=\frac{-b^2}{4}-1=(\frac{-b}{2})^2-1=(\frac{-b}{2})^2\times (-1)-1\times (-1)=-(\frac{-b}{2})^2+1

    Mon raisonnement est-il juste ? (J'ai un doute quant au ×(1)\times (-1).)



  • On peut donc dire que y = -abcisse + 1

    Qu'est-ce que je peux utiliser pour prouver que le sommet de $y%20=%20x^2%20+%20bx%20+%201$ est sur la courbe représentative de xx2+1x\rightarrow -x^2+1 ?



    • abscisse² +1 plutôt

    effectivement, c'est ce qu'il faut remarquer. On peut écrire l'équation paramétrique également.



  • Bonsoir,

    Vérifie les coordonnées de ton sommet, l'ordonnée est fausse.



  • Merci pour vos réponses 😉

    Pour calculer l'ordonnée la formule est bien δ4a\frac{-\delta }{4a} ? Et comme δ=b24\delta = b^2-4 pour ce trinome j'ai donc (b24)4=b2+44\frac{-(b^2-4)}{4}=\frac{-b^2+4}{4}. Effectivement, cela me semble plus juste maintenant. Mais comment obtenir le - (en rouge) de {\color{red} }-(b2)2+1(\frac{-b}{2})^2+1
    ?



  • (-b/2)² = b²/4
    donc

    • (-b/2)² = -b²/4


  • Effectivement Noemi.



  • Toutes mes excuses je voulais tellement lire ,b2+4,4\frac{,-b^2+4,}{4} que j'ai fini par le lire

    Et j'ai fait le copier coller de ce que sylvain67 avait écrit pour éviter de refaire le code LaTeX.



  • Je peut donc conclure que comme (b2,;,(b2)2+1):(\frac{-b}{2}, ; , -(\frac{-b}{2})^2+1):(x,;:x2+1)\leftrightarrow (x, ;: -x^2+1) , les coordonnées des sommets du trinôme x2+bx+1x^2+bx+1 appartiennent à la courbe représentative de x::x2+1x: \rightarrow : -x^2+1



  • Oui, tu peux conclure ainsi.



  • Ok ! Un grand merci à tous 😁


 

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