Parabole d'équation + droites : calculer l'abscisse du milieux d'un segment


  • S

    Re-bonsoir,

    dans un autre exercice de mon devoir maison je ne trouve pas comment calculer l'abscisse du milieux d'un segment. Sujet :
    Citation

    Soit P la parabole d'équation y = x²-4. La construire dans un repère.
    On désigne par dmd_{m}dm la droite d'équation y= 2x + m, m∈mathbbRmathbb{R}mathbbR.
    Tracer ces droites pour m=0, 1, 2.
    Elles coupent la parabole en A0 et BO, A1 et B1, A2 et B2.
    Calculer les abscisses des milieux de chacun des segments.(...)

    J'ai tracé la parabole, les droites, placé les points A0 et B0, etc... et marqué les milieux des segments à l'aide du compas. Comment calculer les abscisses des milieux ? On ne connait aucun point, non !?

    Merci d'avance pour votre aide 🙂 !


  • I

    Bonjour Sylvain,

    Les coordonnées des points d’intersection entre la parabole d’équation y = x²-4 et la droite DmD_mDm d’équation y= 2x + m sont les solutions du système :

    y = x²-4 (1)
    y= 2x + m (2)

    Par ex, pour m=0, (2) devient : y = 2x

    puis en remplaçant y par 2x, l’équation (1) devient : 2x = x²-4

    Tu mets cette équation sous la forme qui va bien, polynôme du 2nd degré que tu sais résoudre.
    Si tu obtiens 2 solutions distinctes x0x_0x0’ et x0x_0x0’’, cela signifie qu’il y a 2 points d’intersection A0A_0A0 et B0B_0B0 dont les abscisses sont x0x_0x0’ et x0x_0x0’’.

    Pour trouver leur ordonnées respectives y0y_0y0’ et y0y_0y0’’, tu peux utiliser au choix l’équation (1) ou (2) même si c’est plus facile avec la (2) bien sûr.

    Tu connais maintenant les coordonnées des 2 points A0A_0A0 et B0B_0B0. Tu sais prblt calculer les coordonnées du point I0I_0I0 milieu de [A0 ;B0].

    Rem : Idem pour m = 1, m = 2. Cette méthode est aussi utilisable de façon générale, en discutant suivant la valeur de m.

    Pour la droite Dm de coefficient directeur 2, m représente l’ordonnée à l’origine. En gardant la même pente, la position de la droite va varier "en hauteur" avec la valeur de m ... expliqué avec les mains comme on dit.

    Bonne continuation.


  • S

    Merci de ta réponse 🙂

    En suivant ton raisonnement j'obtient :

    Les coordonées des points d'intersection entre la parabole d'équation y = x²-4 et la droite Dm d'équation y = 2x+m sont les solutions du système:$\begin{cases} & \text{y=x^2-4} : : (1) \ & \text{y=2x+m } (2) \end{cases}$

    *On calcule les coordonnées du segment [a0b0][a_{0}b_{0}][a0b0] :

    Pour m=0 on a :

    $\begin{cases} & \text{y=x^2-4} : : (1) \ & \text{y=2x } (2) \end{cases}$

    En remplaçant y par 2x, l'équation (1) devient :

    2x = x²-4
    0 = x²-4-2x
    x-2x-4 = 0

    On calcule δ\deltaδ :

    δ\deltaδ = 2²-4x(-4)x1
    =4+16 = 20

    Comme on a δ\deltaδ>0 le polynôme a deux racines x1 et x2 :

    x1x_1x1 = $\frac{-2+\sqrt{20}}{2\times1} = 1+\sqrt{5} \$
    x2x_2x2 = $\frac{-2-\sqrt{20}}{2\times1} = 1-\sqrt{5} \$

    Les abscisses de A0 et B0 sont :

    a0=1−5a_{0}=1-\sqrt{5}a0=15
    b0=1+5b_{0}=1+\sqrt{5}b0=1+5

    Je trouve comme coordonnées : A0A_0A0 (1−5;2−25(1-\sqrt{5};2-2\sqrt{5}(15;225
    B0B_0B0 (1+5;2+25(1+\sqrt{5};2+2\sqrt{5}(1+5;2+25

    En utilisant la formule (xa+((xb−xa)/2);ya+((yb−ya)/2))(x_a+((x_b-x_a)/2);y_a+((y_b-y_a)/2))(xa+((xbxa)/2);ya+((ybya)/2)) je trouve pour I0I_0I0 $(1-\sqrt{5}+\sqrt{5};2-2\sqrt{5}+2\sqrt{5})\leftrightarrow \begin{pmatrix} \ \ 1 \ \2 \ \end{pmatrix}$

    C'est ça ?


  • I

    sylvain67
    Les abscisses de A0 et B0 sont :

    a0=1−5a_{0}=1-\sqrt{5}a0=15
    b0=1+5b_{0}=1+\sqrt{5}b0=1+5

    C'est tout bon.

    Juste une remarque sur la notation des abscisses, faire apparaître le x et le y : xA0x_{A0}xA0 = 1-√5

    Ta formule pour les coordonnées du milieu est correcte, mais je la trouve plus facile à retenir et à utiliser comme ceci :

    xIx_IxI = (xA(x_A(xA + xBx_BxB) / 2
    yIy_IyI = (yA(y_A(yA + yBy_ByB) / 2

    ... mais c'est du détail.


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