terminale S: dérivée avec fonction exponentielle

Bonjour, j'ai un exo à résoudre concernant les fonctions exponentielles.

Voici l'énoncé:

La fonction f est définie sur [0;+oo[ par f(x)= (x+1)e^(-1/x) si x>0 et f(0)=0

calculer la dérivée de f sur [0;+oo[
là j'otbiens f'(x)=(x²+x+1)/(e^(1/x)*x²)

et on me demande de calculer f'(0+) mais comment faire car on ne peut diviser par 0. je ne peux écrire : (e^(1/0)*0²) c'est pas possible.

Aurais je fais une erreur sur ma dérivée?

merci.

Bonjour,

Vérifie ton calcul de dérivée.

je l'ai fais.

en fait juste avant on me demande si f est dérivable en 0 à droite et la réponse est oui car je trouve 0 comme limite.
et juste après on me dit en déduire f'(0). et je vois pas le lien

Si f est dérivable en 0, alors lim (f(x) - f(0)/x = f'(0)

Ah ok.
ensuite on me demande de calculer la limite de f(x) en +oo mais j'obtiens une forme indéterminée.
j'ai posé comme changment de variable X=-1/x mais ça ne marche pas j'ai de nouveau une indetermination.

et pareil pour la limite de f(x) en 0 je trouve pas.
je voulais savoir e^(-1/x) sa limite en 0 à droite ça donne quoi ? 0 nan ?

Comme e^0 = 1, tu n'as pas de forme indéterminée.

Oui merci je viens de voir mon erreur.
Cependant je dois dresser le tableau de variiation de f(x) et j'ai pour le signe de la dérivée, qu'elle est toujours positive et donc f(x) toujours croissante, et si je ne me trompe pas aucune valeur n'annule f'(x).

est ce bient ça ?

C'est juste.

ok merci.
dans la suite de l'exo on me dit :

(fi) est defini sur [0,+oo[ par fi(u)=1-(1+u)e^(-u)
calculer fi'(u)
moi j'ai trouvé u/e^u
etablir pour tout u appartenant [0,+oo[ 0<=fi'(u)<=u
c'est ça que je n'arrive pas à etablir

Vérifie le calcul de la dérivée

alors je dérive d'abord (1+u)e^-u
ce qui me donne : 1e^(-u)-e^(-u) *(1+u)

me reste à dériver 1 ce qui me donne 0

et donc la dérivée d'une différence est la différence des dérivées donc:

(fi)' = 0-e^(-u)+e^(-u)(1+u)
= e^(-u)*u
=(1/e^u)*u = u/e^u

Exact.

Que peut on dire de e^u ? pour u ≥0
puis pour 1/e^u ?

que c'est positive.
u/e^u est toujours positive la dérivée est toujours positive
et donc 0<= (fi)'
mais comment encadrer avec u aussi ?

encadre e^u puis 1/e^u

bah pourquoi encadrer e^u et 1/e^u?
la dérivée est :

u/e^u ou encore (1/e^u ) * u.

u >0 e^u >0

C'est pour utiliser les propriétés des inégalités.

je comprend pas.

pour u ≥ 0 ; 1 ≤ e^u < +oo
donne un encadrement de 1/e^u

1 ≤ 1/e^u < +oo

Non

bah je ne comprend vraiment pas alors.

pour u ≥ 0 ; 1 ≤ e^u < +oo
1/+oo ≤ 1/e^u ≤1/1
si on simplifie :

et puis est ce que ça a du sens d'écrire en encadrement +00 j'ai jamais vu ça
diviser par l'infini ? ça s'écrit ça ??

Pourquoi ne pourrait-on pas l'écrire ?

C'est pour montrer que
0 ≤ 1/e^u ≤ 1

Donc un encadrement de u/e^u sachant que u > 0

"pour u ≥ 0 ; 1 ≤ e^u < +oo
1/+oo ≤ 1/e^u ≤1/1"

euh.. ç'est pas 1/+oo > 1/e^u >1/1"

Et non

3 < 4 < 5 donne
1/3 > 1/4 > 1/5

ah oui c'est vrai.

donc 1/+oo ≤ 1/e^u ≤1/1"
ça fait : 1/+oo ≤ 1/e^u ≤1
comment simplifier 1/+oo

et (fi)' dans tout ça ?

1/+oo ≤ 1/e^u ≤1 soit
0 ≤ 1/e^u ≤1

Comme u >0, tu multiplies l'inégalité par u
....

ah ok!!! merci noemi. merci beaucoup.

je peux continuer à vous demander de l'aide pour la suite ?

Pourquoi pas, mais indique tes éléments de réponse.

oui je sais bien que vous n'etes pas là pour faire mon travail!

alors on me dit on pose Oméga(u)= (u²/u - fi(u) )
étuider le sens de variation de oméga sur [0;+oo[ ( lim lorsque u tend vers +oo n'est pas demandé)

alors j'ai ça Oméga(u)=(u²*e^u-e^u-1-u)/(2e^u)

je me demandais si il n'y avait pas des simplifications à faire car il faudra trouver le signe de ça mais rien.

Tu es sur de : Oméga(u)= (u²/u - fi(u) )
u²/u = u ????