Etudier les probabilités relatives à une culture de bactéries

Bonjour, j'ai quelques petits problèmes avec mon exercice de probabilités
Voici l'énoncé :
On étudie une culture de bactéries. Le comportement de chaque bactérie est le suivant.
Si à l'instant t, une bactérie vit, à l'instant t+1 une bactérie peut :

Mourir avec un probabilité P1,
Continuer à vivre avec une probabilité P2,
Se diviser en deux bactéries identiques avec une probailité P3.
De plus, P1 + P2 + P3 = 1
On suppose que les abctéries présentes dans le milieu de culture se comportent indépendamment les unes des autres.

A l'instant t, deux bactéries b1 et b2 sont présentes dans le milieu de culture. On appelle X le nombre total de bactéries à l'instant t+1.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Déterminez la loi de X.
On suppose qu'à l'instant t=0, une seule bactérie est présente dans le milieu de culture.
a) A l'aide d'un arbre, donnez les nombres de bactéries possibles aux instant t=1 et t=2
b) On désigne par :

A1 l'événement " A l'instant t1, il y a une bactérie "
B2 l'événement " A l'instant t2, il y a deux bactéries "
Calculer la probabilité de B2 sachant A1.
Calculer la probabilité de A1∩B2, puis déduisez-en la probabilité de B2
c) On appelle Y le nombre de bactéries vivantes dans la solution à l'instant t=2
Déterminez la loi de probabilité Y

Mes résultats :
1.a) Les valeurs prises par X sont 0,1,2,3 et 4
b) P(x=0)= Probabilité que b1 meurs + Probabilité que b2 meurs
OU P(x=0) = Probabilité que b1 meurs x Probabilité que b2 meurs ??

Merci de votre aide

Bonjour,

On multiplie les probabilités

Donc :
P(X=0) = P1 x P1
P(X=1) = P1 x P2
P(X=2) = P2 x P2
P(X=3) = P2 x P3
et P(X=4) = P3 x P3

C'est bien cela ?

Non,

Seul les cas X = 0 et X = 4 sont justes. Attention à l'ordre et aux différentes possibilités.

P(X=1) = (Probabilité que b1 meurs x probabilité que b2 vive) ∪ (Probabilité que b1 vive x probabilité que b2 meurs ) = (P1 x P2) ∪ (P2 x P1) = ?
Est-ce que c'est cela ? Et si oui, dois-je continuer mon calcul ?

Oui c'est cela. Continuez vos calculs.

On a une partition donc d'après la Formule des probabilités totales :
(P1 x P2) ∪ (P2 x P1) = P1 x P2 + P2 x P1 = 2(P1 x P2) ?

P(X=2) = ( Probabilité que b1 vive x probabilité que b2 vive ) = P2 x P2 ? Pourquoi est-ce faux ?

Ah non daccord !
J'ai compris mon erreur :
P(X=2) = ( Probabilité que b1 vive x probabilité que b2 vive ) U (Probabilité que b1 meurs x Probabilité que b2 se multiplie ) U ( Probabilité que b1 se multiplie x Probabilité que b2 meurs ) = (P2 x P2) U (P1 x P3) U (P3 x P1) = (P2 x P2) + 2(P1 x P3)

et P(X=3) = (Probabilité que b1 vive x Probabilité que b2 se multiplie) U ( Probabilité que b1 se multiplie x Probabilité que b2 vive ) = (P2 x P3) U (P3 x P2) = 2(P2 x P3)

p(X= 1) est juste

Pour P(X= 2) il manque les cas ou l'un meurt et l'autre se divise.

Je passe à la question 2 :
a) A l'instant t=0, il y a une bactérie
A l'instant t=1, il peut y avoir, 0, 1 ou 2 bactéries
et A l'instant t=2, il peut y avoir 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 bactéries
Est-ce juste ?

Comment à t = 2 peut-on trouver 5 ou 6 bactéries ?

Erreur de ma part
Je rectifie :
a t=2, on peut avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 bactéries

oui c'est juste.

b) Probabilité de B2 sachant A1 = P(A1∩B2)/P(A1)

P(A1) = P2
P(A1∩B2) = P2 x P3
Donc Probabilité de B2 sachant A1 = P2/P2 x P3 = 1/P3 ?