Fonction et forme trigonométrique

[geo49]

Salut,
J'ai un problème de compréhension d'énoncé.

Soit f(x)=x³-3x-1

Calculer cos3x, en fonction de cosx. Posant alors x=2cosx, en déduire les trois racines de l'équation sous forme trigonométrique.

Alors j'ai fait f(2cosx)=(2cosx)³-3(2cosx)-1

Mais ca ne me donne pas la même courbe, donc je ne vois pas comment je peux trouver les racines de f(x) avec cette fonction.

Auriez-vous un indice pour moi
Merci d'avance

[Iron]

Bonjour,

En utilisant : cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) cos(x) - sin(2x) sin(x) = . . .

Ensuite avec maintenant :

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
et
cos(2a) = 2cos²a - 1

cos(3x) = (2cos²x-1) cosx – (2sinx.cosx) sinx

puis avec sin²x = 1 – cos²x

Tu devrais aboutir à
cos(3x) = $4co{s}^3$x – 3 cosx

[Iron]

Tu t’en sors ?

Petite piste supplémentaire :

f(X) = 0

$X^3$ – 3 X – 1 = 0

En posant X=2 cos x (attention ce n'est pas x=2cosx, c'est grand X, changement de variable)

(2 cos $x{)}^3$ – 3 (2 cos x) – 1 = 0

2 [
4 $co{s}^3$ x – 3 cos x] – 1 = 0

Là tu utilises le résultat précédent pour poursuivre la résolution de l’équation.

ps : ne pas oublier les + 2k$pi$

[geo49]

AH merci parceque la j'avais du mal franchement. Je suis actuellement dans le cours limites de fonction, continuité et calcull differentiel, donc j'étais perdu la

[Iron]

T'emballe pas trop ... ce n'est pas fini.

A partir de là, il faut trouver les 3 solutions.

[geo49]

Si j'ai encore une question: Comment tu fais pour passé de

(2 cos $x{)}^3$ – 3 (2 cos x) – 1 = 0
à
2 [ 4 $co{s}^3$ x – 3 cos x ] – 1 = 0

POur moi ce n'est pas la meme chose.

[geo49]

Et j'ai trouvé une faute dans tes résultats:
Tu as mis que sin²x = 1 – cos²x

Alors que sin²x = (1 – cos²x)/2

Ce qui au final donne cos(3x) = $3co{s}^3$x – 2 cosx

Mais ca m'aide pas plus ce résultat

[Iron]

geo49
Et j'ai trouvé une faute dans tes résultats:
Tu as mis que sin²x = 1 – cos²x

Alors que sin²x = (1 – cos²x)/2
Soutiendrais-tu que la seule et unique égalité que je connaisse par coeur en trigo, $si{n}^2$(x) + $co{s}^2$(x) = 1, est fausse ?

Trêve de plaisanterie, ce n’est pas sin²x = (1 – cos
²x)/2 mais sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

Conseil : Imprime le formulaire trigo de Nelly ICI.

Je te conseille au passage de jeter un oeil aux autres formulaires TS accessibles en page d’accueil de Mathforu’ (formulaire TS, tableau des primitives etc . . . ) que je trouve très bien. Merci à celles et ceux qui les ont mis à disposition.

[geo49]

Non mais je suis d'accord avec toi j'ai fais mon calcule avec ma valeur et au bout du compte le retrouve le même résultat.
Mais commenttu fais pour trouver:

2[ 4 $co{s}^3$x-3 cos] - 1 =0 ????

[Iron]

geo49
Si j'ai encore une question: Comment tu fais pour passé de

(2 cos $x{)}^3$ – 3 (2 cos x) – 1 = 0
à
2 [ 4 $co{s}^3$ x – 3 cos x ] – 1 = 0

POur moi ce n'est pas la meme chose.

Tu m'inquiètes là ! C'est de quel niveau ce calcul ? Seconde, non ?

(2 cos $x{)}^3$ – 3 (2 cos x) – 1 = 0

$2^3$ $co{s}^3$ x – (3 × 2) cos x – 1 = 0

8 $co{s}^3$ x – 6 cos x – 1 = 0

2 [ 4 $co{s}^3$ x – 3 cos x ] – 1 = 0

[geo49]

OH oui les boules

[Iron]

Je compte sur toi pour terminer l'exo maintenant ! C'est moi qui ai tout fait pour l'instant.

Je rappelle pour conclure de ne pas oublier les +2k$pi$ avec k∈$mathbbZ$ dans la détermination de x, c'est important ici.

Puis, il faudra revenir avec X=2 cos x pour conclure. Il ne faut pas oublier que notre équation est f(X) = 0. Ce sont les valeurs de grand X que l'on cherche.

[Iron]

Trace la courbe représentative Cf avec f(X)=X³-3X-1 à la calculette.

Détermine une valeur approximative des abscisses X pour lesquelles la fonction s'annule.

Tu pourras vérifier si tes résultats (valeurs
exactesdes racines) sont correctes.

Allez hop au boulot !