solutions d'une équation

Je suis en classe de seconde et j'ai trouvé cet exercice dans mon livre sauf que je le trouve très intriguant. je suis censé pour le résoudre utiliser mes outils de Seconde mais j'y arrive pas!! l'exercice est le suivant:

Que pensez-vous des solutions de l'équation x²=x+1
vous êtes complètement libre quant aux outils employés et quant à votre raisonnement!!

Bonjour,
Compare : (x-1/2)² avec x²-x

Bjr sogna

Tu peux peut-être commencer par une solution graphique.

Sais-tu tracer les courbes représentatives des fonctions x→ x² et x → x+1 ?

Sur le graphique, à quoi correspond(ent) la(les) solution(s) ?

Ca peut t'aider à connaître le nombre de solutions, une approximation de leur valeur ou un encadrement ?

Oh pardon mathtous ... je vous laisse poursuivre.

En effet tu peux difficilement y parvenir avec ce que tu apprends en seconde ... Pour info il s'agit de l'équation qui a pour solution le nombre d'or.

Tu peux par exemple démontrer que ton équation est équivalente à :

(x-1/2)²=5/4

Si tu a l'intention d'aller en 1ère S, ce serait intéressant que tu passes un peu de temps sur cette question pour résoudre des équations du type ax²+bx+c=0. La méthode est abordée par exemple dans ce cours sur les équations (voir section 4 : Second degré - un bref aperçu). Zauctore va plus loin dans ce cours sur les formules quadratiques.

Tu peux faire plus de recherches en tapant par exemple "mettre un trinôme sous forme canonique". Voila de quoi t'occuper pour une partie des vacances

(je vois qu'on se bouscule pour les réponses ... je maintiens toutefois la mienne : vous êtes des rapides les gars !)

Précisons pour que sogna s'y retrouve dans ce flot de réponses que la méthode que je propose rejoint celle de mathtous (et le programme de début de 1ère).

Celle d'Iron est intéressante et offre l'avantage d'être plus facilement abordable en seconde mais ne peut être généralisée à toutes les équations du second degré.

bonsoir et merci à tous pour vos réponses mais j'ai quelques questions ne vous en déplaise!!
d'abord Mathtous j'aimerais savoir à quoi nous serviras le fait de comparer
(x-1/2)² et x²-x et pourquoi précisément ces deux termes?!?
Iron si j'ai bien compris après avoir représenter sur le graphique ces fonctions je dois lire quelles sont les valeurs de x et de f(x) qui se vérifient pour les deux fonctions?!? je pense que je n'ai pas bien compris, je vais aller jeter un coup d'œil sur les fiches que m'a proposé Thierry!!

alors, merci quand meme et pas grave!! je demanderais à mon prof de maths!!! :frowning2:

Bjr,

x²=x+1

x²-x-1 = 0

"x²-x" est le début d'un carré. En utilisant l'identité remarquable (a-b)² = a² -2ab + b² :

(x-1/2)² =
x² - x+ 1/4

donc x² -x = (x-1/2)² - 1/4

En remplaçant x² -x par (x-1/2)² - 1/4 dans x²-x-1 = 0 tu transformes ton équation en :

(x-1/2)²=5/4 voir post de Thierry

Sais-tu ensuite résoudre cela ?

PS : Ne t'inquiète pas si tu trouves cela compliqué, c'est du niveau 1ère S.

bonsoir a tous!!
justement Iron j'aimerais bien faire 1ère S, et donc mon père m'a conseillé de me préparer en faisant des exercices de ce genre sans toute fois exagerer!! mais lorsque je m'y met je ressens toujours le besoin d'y arriver!!
non je pense pas pouvoir resoudre
(x-1/2)²=5/4
en fait on est encore au début du chapitre sur les équations et on a pas encore fait ceux de seconde!! J'ai quand meme essayer et ça me donne:
(x-1/2)²=5/4
X²-x+1/4=5/4
X²-x=5/4-1/4
x²-x=1
et c'est là que je bloque!! sauf si j'ai fait une erreur car j'ai vraiment aucune idée de comment resoudre ce type d'equation!

Bonsoir Sogna,

En 1ère S tu vas apprendre une méthode pour résoudre une équation du second degré du type ax²+bx+c = 0

Le post du 30.10.2009, 15:21 te montre comment passer de l'équation x²=x+1 à celle-ci (x-1/2)² = 5/4

Et là tu as refait le chemin à l'envers pour revenir à l'équation de départ.
Non, l'avantage de transformer x²=x+1 en (x-1/2)² = 5/4 c'est que l'on peut maintenant se "débarrasser" du carré :

On poursuit la résolution

(x-1/2)² = 5/4 ⇔

√[(x-1/2)²] = √(5/4) ⇔

|x-1/2| = √(5/4) ⇔

Est-ce que tu connais la fonction valeur absolue ?

Tu vois comment s'en débarrasser ? Sais-tu poursuivre à ce stade ?

bonjour!!!
je sais que la valeur absolue d'un nombre c'est ce nombre sans son signe. Et je sais aussi que la fonction valeur absolue est une fonction qui décroit sur [-∞;0] et croit sur [0;+∞]. elle associe a tous X négatif ou encore positif une valeur positive!! sauf que je voit pas trop le rapport!!

(x-1/2)² = 5/4 ⇔

√[(x-1/2)²] = √(5/4) ⇔

|x-1/2| = √(5/4) ⇔

[(x-1/2)-√5/4][(x-1/2)+√5/4]=0⇔

[(x-1/2)-√5/4]=0 où [(x-1/2)+√5/4]=0

donc on a la deux valeurs de x qui sont solutions de cette équation!!
|x-1/2| pourquoi il y a t'il c'est deux traits devant et pourquoi le carré a t'il disparu et qu'est-ce qu'il veulent dire?!?

Bonjour Sogna et désolé de répondre si tard, je n’avais pas vu ta réponse.

Puisque ça t’intéresse . . .

Arrivé à ce stade :

(x-1/2)² = 5/4

Il y a trois façons de poursuivre (en tout cas, j’en vois 3)

En utilisant la fonction valeur absolue, c'est la méthode peut-être la plus difficile.

(x-1/2)² = 5/4 ⇔

√[(x-1/2)²] = √(5/4) ⇔ On fait disparaître le carré en faisant la racine carré des deux cotés de l'égalité : si a et b 2 réels positifs, alors a = b ⇔√a = √b

|x-1/2| = √(5/4) ⇔ On met la valeur absolue car une racine carré est toujours positive.

|x-1/2| = √5/2

Pour se débarrasser de la valeur absolue, il faut connaître le signe de l’expression à l’intérieur du radical.

Rappel :
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0

x-1/2 ≥ 0 si et seulement si x ≥ 1/2, alors |x-1/2| = x-1/2
et
x-1/2 < 0 si et seulement si x < 1/2, alors |x-1/2| = -x+1/2

Donc pour x ≥ 1/2 :

|x-1/2| = √5/2 ⇔
x-1/2 = √5/2 ⇔
. . .

Et pour x < 1/2 :

|x-1/2| = √5/2 ⇔
-x+1/2 = √5/2 ⇔
. . .

Ce qui nous fait effectivement 2 solutions, tu t’en es rendue compte.

Présenter l’équation comme différence de deux carrés a²-b² puis utiliser l’identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b). J’aurais dû te proposer cette méthode en premier, elle est plus simple :

(x-1/2)² = 5/4 ⇔

(x-1/2)² - 5/4 = 0 ⇔

(x-1/2)² - [√(5/4)]² = 0 ⇔ (car a = (√a)² pour tout a positif)

(x-1/2)² - [√5/2]² = 0 ⇔

Maintenant, on utilise l’identité remarquable pour factoriser. Un produit de facteur est nul ssi . . . je te laisse poursuivre.

C’est la méthode du discriminant que tu vas apprendre en 1ère. Je la décris rapidement, tu en tiens compte ou pas, à toi de voir.
On présente l’équation sous la forme :

ax² + bx + c = 0

On calcule le discriminant, cad le réel Δ = b² - 4ac

Si Δ < 0, l’équation n’admet aucune solution
Si Δ = 0, l’équation admet une solution unique : $x_0$ = -b / (2a)
Si Δ > 0, l’équation admet deux solutions distinctes $x_1$ = [-b-√Δ] / (2a) et $x_2$ = [-b+√Δ] / (2a)

Donc, ici tu pars de : x² - x - 1 = 0

Mais là, tu prends beaucoup d’avance.

Les 3 solutions mènent bien sûr aux mêmes solutions . . . de quoi s’amuser un peu si tu le souhaites.

Bonne soirée.