Les vecteurs et la relation de Chasles

Bonjour.

Voici un exercice d'application du cours que nous a donné mon professeur.
Je suis un peu perdue avec les vecteurs... Disons que je n'arrive pas a m'y faire. :rolling_eyes:

Je vous propose l'énoncé suivi des réponses (a corriger) :

L'énoncé :

**Soit IJK un triangle quelconque du plan P et le point A milieu de [IJ].

Construire les points L,M et N définis par les égalités vectorielles suivantes :

IL+ 3LK = 0
IM + 3JM = 0
3 IN + NJ = 5 IK

a- Exprimer le vecteur LN en fonction des vecteurs IJ et IK.
b- Exprimer LN puis KA en fonction des veteurs IJ et IK.
En utilisant les résultats des questions 2.a- e 2.b- , et en rappelant les propriétés du cours nécessaires, démontrer que :

a- Les points L, M et N sont alignés
b- Les droites (KA) et (LM) sont parallèles.

Exprimer les vecteurs JM et JA en fonction des vecteurs IJ et IK. Démontrer que A est le milieu de [JM].**

Mes réponses :

Pour construire les points, je sais qu'on doit utiliser la relation de Chasles mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs nul et la relation de chasles en général ... J'ai du mal a imbriquer les égalités vectorielles :frowning2:
Si quelqu'un peut m'aider, je suis bloquée pour tout l'exercice si je n'ai pas la figure ... :frowning2: :frowning2:

Pour les questions 3.a et 3.b, je sais comment il faut faire grace au cours mais le reste ne m'est pas simple...
Merci beaucoup. :rolling_eyes:

S'il vous plaît. J'aimerais de l'aide .. :frowning2:

Bonsoir,

Relation de Chasles : vect LK = vect LI + vect IK
à remplacer dans la première relation, puis exprimer vect IL en fonction de vect IK.

Je dois faire LK = LI + IK et remplacer IK et LI par d'autres vecteurs ?

Tu sais que vect IL + 3 vect LK = vect 0
tu remplaces vect LK par vect LI + vect IK, puis tu écris vect IL en fonction de vect IK.

C'est a dire que je fais :

IL + 3( LI + IK) = 0

IL + 3 LI + 3 IK = 0 ?

Utilise ensuite vect IL = - vect LI

IL + 3( LI + IK) = 0

IL + 3 LI + 3 IK = 0

IL = -LI

Je décompose -LI ?

Non, tu remplaces IL par -LI
IL + 3 LI + 3 IK = 0

IL = -LI
Donc
-LI+ 3LI + 3IK = 0
Soit .....

Soit 2 LI + 3KI = 0
2 LI + 3 (KL + LI) = 0
2 LI + 3KL + 3LI = 0
3KL = 3LI -2LI
3KL = LI
Donc on retrouve bien l'égalité vectorielle de départ : IL + 3LK = 0
Je peux donc placer le point L sur la figure.

Pour les autres, je procède de la même manière ?

Une erreur :
2 LI + 3IK = 0
2 LI = 3KI, soit LI = ...

J'ai modifié ma réponse précédente car j'ai trouvé comment on faisait.

Vérifie ton calcul.
Comment as tu placé le point L ?

Oui mais si on fait le calcul que j'ai fait, finalement, on tourne en rond, non ? Puisqu'on retrouve l'égalité de départ et cela ne nous avance pas tellement... :rolling_eyes:

Tu n'as pas suivi le raisonnement
2 LI + 3IK = 0
2 LI = 3KI, soit LI = 3/2 KI

Tu peux ainsi placer le point L

Noemi
soit LI = 3/2 KI

Tu peux ainsi placer le point L

Donc je dois inverser les vecteurs et marquer :

IL = 3/2 IK ?

Car je ne peux pas partir du point L directement.
Ensuite j'utilise la même méthode pour les autres égalités ?

Oui tu peux écrire : IL = 3/2 IK

Applique le même raisonnement pour les points M et N.

D'accord

Alors pour IM + 3JM = 0

IM + 3JM = 0
IM + 3 (JI + IM) = 0
IM + 3 JI + 3IM = 0
4 IM = 3 JI
4/3 IM = JI

IM + 3 JI + 3IM = 0 donne
4 IM + 3 JI = 0
soit IM = ....

Soit IM = 3/4 JI !

Non
IM = 3/4 IJ

Ah d'accord.
Je fais la même chose pour l'autre égalité : 3 IN + NJ = 5 IK

Oui applique le même raisonnement.

3 IN + NJ = 5 IK
3 (IJ + JN) + (NI + IJ) = 5 IK
3 IJ + 3 JN + NI + IJ = 5 IK
4 IJ + 3 JN + NI = 5 IK
4 IJ + 3 (JI + IN) + NI = 5 IK
4 IJ + 3 JI + 3 IN + NI = 5 IK
IJ + 2 IN = 5 IK

Pour l'instant ca va ?

Non
3 IN + NJ = 5 IK
3 (IM + IN) + 5 (NI + IJ) = 5 IK pourquoi IM + IN et ensuite le + 5 ?????

J'ai modifié ma réponse, est-elle juste ?

Est-ce que je dois procéder de cette manière :

3 IN + NJ = 5 IK
3 (IJ + JN) + (NI + IJ) = 5 IK
3 IJ + 3 JN + NI + IJ = 5 IK
4 IJ + 3 JN + NI = 5 IK
4 IJ + 3 (JI + IN) + NI = 5 IK
4 IJ + 3 JI + 3 IN + NI = 5 IK
IJ + 2 IN = 5 IK

?

On pouvait parvenir plus rapidement au résultat que tu as obtenu.

Exprime IN en fonction des deux autres vecteurs.

Oui mais j'ai 5IK qui me pose problème, je n'arrive pas à l'enlever

Bonjour,

le vecteur IK, tu peux le tracer.
Ecris vect IN = ....JI .... IK

IJ + 2 IN = 5 IK
IN = 1/2 JI + 5/2 IK ??

C'est juste, tu peux placer le point N.

Aaaah ENFIN !

Je pense savoir faire le reste de l'exercice seule
C'était surtout cette question que me bloquait et donc me bloquait pour tout l'exercice :rolling_eyes:

Merci beaucoup de votre aide !
Si j'ai une question à propos de cet exercice, je n'hésiterais pas à la poser

A bientot peut-être et bonne fin de journée