Système d'équation avec x + y = S et xy = P

Pour ces vacances j'ai eu un DM de Mathématiques avec l'exercice suivant :
x et y sont deux réels.
On pose x + y = S et xy = P

Exprimer les réels x² + y² et x³ + y³
en fonction de S et de P
Résoudre dans R² le systeme $x3+y3=10\begin{cases} & \text{ } x^2 + y^2 = 7 \ & \text{ } x^3 + y^3 = 10 \end{cases}$

Pouvez vous m'aider car ça fait plus de deux heures que je cherche mais je comprends pas comment résoudre la premiere question!( Après pour la deuxieme sera un vrai jeu d'enfant)

Pour x² + y², on m'a conseillé de développé (x + y)²! Donc cela voudrai dire que 2xy = 0?

Merci d'avance!

Bonjour,

Commence par développer (x+y)² et (x+y)³

Je l'ai fait on trouve bien
x²+2xy+y² et
x³+3xy²+3yx²+y³?

Isole dans chaque expression
x²+y²
x³+y³

Donc si je comprend bien faut faire :
x²+y²=-2ab
et x³+y³=-3xy²-3yx²

Non
(x+y)² = x²+2xy+y² donc x²+y²= ......
(x+y)³= x³+3xy²+3yx²+y³ donc x³+y³= .....

Désolé je ne vois pas ou vous voulez en venir a par :
(x+y)² = x²+2xy+y² donc x²+y²=-2xy
(x+y)³= x³+3xy²+3yx²+y³ donc x³+y³=-3xy²-3yx²

(x+y)² = x²+2xy+y² donc x²+y²=(x+y)² -2xy soit x²+y² = S² -2P
(x+y)³= x³+3xy²+3yx²+y³ donc x³+y³=.....

Ah je comprends maintenant!!!^^ Merci! Alors pour le second c'est :
(x+y)³ = x³+3xy²+3yx²+y³ donc
x³+y³=(x+y)³ -3xy² -3yx² soit
x³ + y³ = S³ ....(oula! ça se complique un peu! )

factorise -3xy² -3yx² = -3xy(.......)

Je savais bien qu'il fallait factoriser mais si je le fait mal ça va pas allé!!!
-3xy(x+y)
donc x³ + y³ = S³ -3PS
= S(S²-3P)
Je crois que c'est ça!!!^^
Merci beaucoup!!!

C'est juste.

Merci beaucoup! Je résoud le système et je vous fait part de mes résultats!!^^

Enfaite j'ai des petits problèmes!!! :frowning2:

J'ai pensé sa mais je croi pas que ce n'est pas bon : $s(−p+7)=10\begin{cases} & \text{ } s^2 = 2p + 7 \ & \text{ } s(-p + 7) = 10 \end{cases}$

Exprime P en fonction de S² et remplace dans l'autre équation.

Est ce que c'est axact?
$s(21−2s2)/2)=10\begin{cases} & \text{ } p = (7 - s^2) / -2 \ & \text{ } s( 21 - 2 s^2) / 2) = 10 \end{cases}$

La deuxième équation est fausse :
P = (S²-7)/2
S(-S²+21) = 20

Tu résous la deuxième équation.

Okok! Alors :
S³-21S+20 = 0
= (S+5)(S-1)(S-4)!!!
Donc S=-5 ou S=1 ou S=4
C'est sa!!!
Merci!
Après je remplace S par les nombres et je trouve P qui sont si je me trompe pas :
P=9 ou P=-2 ou P=11/2

Seule la première valeur de P est juste. vérifie tes calculs.
Tu calcules ensuite x et y.

Oui c'est ce que je suis entrain de faire! Je pense pouvoir finir seul! Merci beaucoup!!!

J'ai trouvé x = (1-√13)/2 ou x = (1+√13)/2
Mais on me demande dans R²! C'est quand même sa les résultats?

Oui c'est la solution.