Problème sur un DM de géométrie dans l'espace

Bonjour,

Voilà l'exercice qui me pose problème :
Soit 5 points A,B,C,D et E de l'espace tel que $be⃗\vec{be}$ = 2 $bc⃗\vec{bc}$ et $ae⃗\vec{ae}$ = 3 $ad⃗\vec{ad}$ .
Soit le point M tel que $me⃗\vec{me}$ = $mc⃗\vec{mc}$ + $md⃗\vec{md}$
Les vecteurs $am⃗\vec{am}$ , $ad⃗\vec{ad}$ et $bc⃗\vec{bc}$ sont-ils coplanaires ?

Merci d'avance pour votre aide, j'ai tourné le problème dans tous les sens je n'y arrive vraiment pas :rolling_eyes: !

Cordialement.

Louise

$am⃗=ae⃗+em⃗=3ad⃗+cm⃗+dm⃗\vec{am} =\vec{ae} +\vec{em} =3\vec{ad}+\vec{cm} +\vec{dm}$
donc:
$am⃗=3ad⃗+ca⃗+da⃗+2am⃗\vec{am}=3\vec{ad} +\vec{ca} +\vec{da} +2\vec{am}$
(relation de chasles)
donc en regroupant:
$−am⃗=2ad⃗−ac⃗-\vec{am} =2\vec{ad} -\vec{ac}$
soit
$am⃗=−2ad⃗+ac⃗\vec{am} =-2\vec{ad} +\vec{ac}$
on a donc bien une relation de coplanarité...mais pas avec les bons vecteurs!
désolée, je m'y remets!

Donc: $am⃗=ad⃗+dm⃗\vec{am} =\vec{ad} +\vec{dm}$
or d'après la première égalité on a C milieu de [BE]
donc $bc⃗=ce⃗\vec{bc} =\vec{ce}$
de plus d'après la troisième égalité MDEC est un parallélogramme
donc $ce⃗=md⃗\vec{ce} =\vec{md}$
donc $bc⃗=md⃗\vec{bc} =\vec{md}$
et $am⃗=ad⃗−bc⃗\vec{am} =\vec{ad} -\vec{bc}$
on a bien une relation de coplanarité et avec les bons vecteurs cette fois!

Remarque: la deuxième relation de l'énoncé est totalement inutile pour cette question

On peut envisager un autre raisonnement:
les points M, C ,E ,D sont dans un même plan (P) d'après la troisième égalité
B est sur la droite (CE) donc B est aussi dans (P)
A est sur la droite (DE) donc A est aussi dans (P)
Les vecteurs $am⃗,ad⃗,bc⃗\vec{am} , \vec{ad} , \vec{bc}$ sont tous construits à partir de points de (P) donc sont coplanaires...et ça a l'avantage d'utiliser toutes les hypothèses

Mercii beaucoup pour ta réponse ! Je savais vraiment plus quoi faire !
Merci énormément
Louise