Dérivé d'une fonction exponentielle.



  • Bonjour,

    j'ai un petit soucis, je bloque sur la première question de mon DM ...

    Je n'arrive pas à dériver :

    h(x) = 1 + 4 (1-2x) e^-2x

    Quand je le fais, je trouve :

    h'(x) = (8x+12) / ( e^2x)²

    Pourriez-vous m'aider ?



  • Bonjour,

    Quelle est la dérivée de e^(-2x) ?



  • Sa dérivé est :

    si on pose u=-2x
    Alors ; (e^u)= u' * e

    Soit :
    ( e^(-2x) ) = -2e^(-2x)

    Correcte ?



  • Et la dérivée de 1 - 2x ?
    Puis du produit ?



  • La dérivé de ( 1 - 2x ) est -2

    Du produit : (u*v)' = u' * v + u * v'

    D'où :

    (u*v)' = -2(e^-2x) + (1 - 2x)(-2e(-2x))
    = -2e^(-2x) - -2e(-2x) + 4(e(-2x))x

    Oui ?



  • Simplifie l'écriture.



  • Heu :

    -4e^(-2x) + 4(e^(-2x))x ??



  • Oui
    -4e^(-2x) + 4(e^(-2x))x
    = -4e^(-2x) + 4x(e^(-2x))

    Tu peux factoriser



  • Ca ferait :

    4 [ (-e^(-2x)) + (xe^(-2x)) ]



  • e^(-2x) peut aussi se factoriser.



  • Donc, ça ferait :

    4e^(-2x) [ -1 + x ] ?



  • Oui



  • Je dois ensuite étudier le sens de variation.
    C'est donc pour ça que j'ai dérivé h.

    Maintenant que j'ai :

    h'(x) = 4e^(-2x) [ -1 + x ]

    Je peux faire ses variation.

    Il faut que je fasse une ligne en disant que :
    1/ 4e^(-2x) est strictement croissante d'après la stricte croissance de e
    2/ 4e^(-2x) * x est donc également croissante
    3/ 4e^(-2x) * x + 4e^(-2x) * -1 est décroissante ?

    C'est justement là que je bloque .. 😕



  • PARDON ! PARDON

    Pour avoir les variations de h, je dois étudier le signe de h' ><



  • Ouais, en fait, non .. C'est pas la dérivé finale ..

    On avait h(x) = 1 + 4 ( 1 - 2x)e^(-2x)

    On a seulement dérivé ( 1 - 2x)e^(-2x)
    Il faut maintenant que je multiplié ce qu'on a trouvé par 4 ?



  • oui pour la dérivée, tu multiplies par 4 le résultat du calcul précédent.



  • Et donc ça fait :

    h'(x) = 16e^(-2x) * (4x -4 )

    Mais après, comment je peux montrer les variations de h ?
    Parce qu'on est sur sur R tout entier, donc ça va dépendre de (4x - 4) ...



  • Tu trouves :
    h'(x) =16e^(-2x) [ -1 + x ]

    Etudie le signe de 16e^(-2x) et de [ -1 + x ]


 

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