Dérivé d'une fonction exponentielle.

Bonjour,

j'ai un petit soucis, je bloque sur la première question de mon DM ...

Je n'arrive pas à dériver :

h(x) = 1 + 4 (1-2x) e^-2x

Quand je le fais, je trouve :

h'(x) = (8x+12) / ( e^2x)²

Pourriez-vous m'aider ?

Bonjour,

Quelle est la dérivée de e^(-2x) ?

Sa dérivé est :

si on pose u=-2x
Alors ; (e^u)= u' * e

Soit :
( e^(-2x) ) = -2e^(-2x)

Correcte ?

Et la dérivée de 1 - 2x ?
Puis du produit ?

La dérivé de ( 1 - 2x ) est -2

Du produit : (u*v)' = u' * v + u * v'

D'où :

(u*v)' = -2(e^-2x) + (1 - 2x)(-2e(-2x))
= -2e^(-2x) - -2e(-2x) + 4(e(-2x))x

Oui ?

Simplifie l'écriture.

Heu :

-4e^(-2x) + 4(e^(-2x))x ??

Oui
-4e^(-2x) + 4(e^(-2x))x
= -4e^(-2x) + 4x(e^(-2x))

Tu peux factoriser

Ca ferait :

4 [ (-e^(-2x)) + (xe^(-2x)) ]

e^(-2x) peut aussi se factoriser.

Donc, ça ferait :

4e^(-2x) [ -1 + x ] ?

Oui

Je dois ensuite étudier le sens de variation.
C'est donc pour ça que j'ai dérivé h.

Maintenant que j'ai :

h'(x) = 4e^(-2x) [ -1 + x ]

Je peux faire ses variation.

Il faut que je fasse une ligne en disant que :
1/ 4e^(-2x) est strictement croissante d'après la stricte croissance de e
2/ 4e^(-2x) * x est donc également croissante
3/ 4e^(-2x) * x + 4e^(-2x) * -1 est décroissante ?

C'est justement là que je bloque ..

PARDON ! PARDON

Pour avoir les variations de h, je dois étudier le signe de h' ><

Ouais, en fait, non .. C'est pas la dérivé finale ..

On avait h(x) = 1 + 4 ( 1 - 2x)e^(-2x)

On a seulement dérivé ( 1 - 2x)e^(-2x)
Il faut maintenant que je multiplié ce qu'on a trouvé par 4 ?

oui pour la dérivée, tu multiplies par 4 le résultat du calcul précédent.

Et donc ça fait :

h'(x) = 16e^(-2x) * (4x -4 )

Mais après, comment je peux montrer les variations de h ?
Parce qu'on est sur sur R tout entier, donc ça va dépendre de (4x - 4) ...

Tu trouves :
h'(x) =16e^(-2x) [ -1 + x ]

Etudie le signe de 16e^(-2x) et de [ -1 + x ]