étude de f(x)= (x-1)(x²+3x+3)/(x+1)^2 (ex : Exercice 81 p 33 Livre Transmath 2005)

Bonjour,

J'ai essayé de faire cette exercice que je dois rendre pour demain (et qui est noté malheureusement) Mais je comprends pas le moitié de l'énoncé donc si vous pourriez m'aider ce serait sympa,

Merci

"81 p 33"

f est la fonction définie sur I= ] -1, + ∞ [ par :

f(x)= (x-1)(x²+3x+3) / (x+1)²

1) trouvez trois réels a, b, c tels que, pout tout réel x de I

f(x) = ax + (b /( x+1)) + (c / (x+1)² )

2) déduisez-en que f est une fonction strictement croissante sur I

3 a)vérifiez que, pour tous réel x :

x² + 3x + 3 = (x+1)² + x + 2
et déduisez en que pout tout x de I, (x²+3x+3) / (x+1)² > 1

Expliquez pourquoi on peut en déduire que, pour tout réel x tel que x>1, f(x) > x-1

b) démontrez que pour tout x de I, f(x) < x

c) Interprétez graphiquement les deux inégalités obtenues et hachurez sur un graphique la région du plan dans laquelle doit se situer le courbe f

4) A l'aide de la courbe obtenue sur votre calculatrice ou un grapheur, conjecturez l'ensemble décrit par les images f'x) lorsque x décrit tout l'intervalle I"

Voila l'énoncé je l'ai fait jusqu'au 3 a) et je n'arrive pas la suite
Pourriez vous m'aider ??

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse.

Réduis l'expression au même dénominateur.

a = x+1
b= 1/(x+1)
c= (x²+3x+3)/(x²+1)
j'ai étudié chacun des 3 nombre a b et c séparément puis j'ai conclu que c'était croissant

3a) j'ai developpé et prouvé que la relation est bonne
et ej suis coincé apres pour dire que b est supérieur a 1

C'est faux;

Réduis l'expression f(x) = ax + (b /( x+1)) + (c / (x+1)² ) au même dénominateur.

Comment cela en développant ou pas ?

[ax(x+1)² +b(x+1) +c ] / (x+1)²

Mais l'exercice demande a ce que b soit sur x+1 et a sans fraction, non ?

sinon quand je développe au maximum j'ai des x au cube et c'est étrange.

Oui, développe complètement,
ensuite tu développes (x-1)(x²+3x+3)

si je dev complétement j'obtient ax "cube" +2ax²+ax+bx+c
et
pour la deuxième x "cube" +2x²-3
il suffirait juste de dire donc que a =1 b=2 et c=-3 ??

Bonjour,

Pour "au cube " , tu as un bouton sous la zone de saisie ... à côté de ² .. ³

Il manque +b dans ton développement
ax³ +2ax²+ax+bx+b+c
et
pour la deuxième x³ +2x²-3
Ensuite tu identifies terme à terme
ax³=x³, soit a =
2ax²= ...
......

Tu as un exemple dans la partie cours "Identification d'une fonction rationnelle"

Donc si j'ai tout suivit,
a=1
b=-1
c=-2

C'est juste.

Ouf merci
Enfin j'ai pas encore finit.
Je suis de nouveau bloqué donc à la 3a) après avoir vérifié l'égalité
je ne sais pas comment je démontre que c'est inférieur a 1

A quoi est égal l'expression : (x²+3x+3) / (x+1)² = .......?

A (x+1)²+x+2 je peux dire que c'est positif mais pas que c'est supérieur a 1 en fait c'est le 1 qui m'embête

Complète l'égalité
(x²+3x+3) / (x+1)² = .......
et analyse le terme de droite.

je peux dire
(x²+3x+3) / (x+1)² = [ (x+1)² +x+2] / (x+1)² = 1+ (x+2)/(x+1)²
Mais je vois toujours pas ou est la fin

Que peut-on dire de (x+2)/(x+1)² pour x > -1 ?

Et bien que c'est pas possible car le dénominateur serait nul donc que -1 est une valeur interdite

Quel est le signe de (x+2)/(x+1)² pour x supérieur à -1 ?

Positif

Donc tu peux conclure pour la 3 a).

C'est la que je comprend pas, ce que je peut conclure c'est que c'est supérieur a 0 mais pas à un

Reviens à l'égalité :
(x² + 3x + 3)/(x+1)² = 1 + (x + 2)/(x+1)²
comme (x + 2)/(x+1)² > .....
(x² + 3x + 3)/(x+1)² > ......

..... A compléter

(x² + 3x + 3)/(x+1)² = 1 + (x + 2)/(x+1)²
comme (x + 2)/(x+1)² > -1
(x² + 3x + 3)/(x+1)² > -1

Puisque l'on passe le un de l'autre coté cela donne -1 mais on veut 1

polo
(x² + 3x + 3)/(x+1)² = 1 + (x + 2)/(x+1)²
comme (x + 2)/(x+1)² > -1
(x² + 3x + 3)/(x+1)² > -1

Puisque l'on passe le un de l'autre coté cela donne -1 mais on veut 1

On ne passe pas le 1 de l'autre côté;
On a démontré que (x+2)/(x+1)² >0 pour x > -1
Donc (x² + 3x + 3)/(x+1)² > ......

Donc (x² + 3x + 3)/(x+1)² > 0
Mais on veut 1 a la place de 0, non ?

(x² + 3x + 3)/(x+1)² = 1 + (x + 2)/(x+1)²
comme (x + 2)/(x+1)² > 0
Alors (x² + 3x + 3)/(x+1)² > 1 + 0
donc ......

Ok j'ai enfin compris désolé d'être si long ^^

donc (x² + 3x + 3)/(x+1)² > 1

Pour la suite,
Je décompose f(x) = (x-1)(x²+3x+3) / (x+1)²
=(x+1) X [(x²+3x+3)/(x+1)²]
En disant que la partie de droite est supérieur a 1
Mais après même si je passe de l'autre coté le x+1, j'arrive a x et pas x-1

Quelle est la relation entre f(x) et (x²+3x+3) / (x+1)² ??

et bien f(x) est (x²+3x+3) / (x+1)² auquel on multiplie par x-1
D'accord j'ai compris

Bon ensuite pour le b) je dois étuider le signe de f(x)-x ?

Cherche l'expression de f(x) - x.

f(x)-x= -1/(x+1) - 2/(x+1)²

Etudie le signe de la partie de droite pour x > -1.

La fonction est croissante
Mais le signe est négatif ?

f(x) - x < 0
donc f(x) .....

f(x) < x

Un grand merci pour ta patience