Exercice sur la divisibilité

Bonjour, je suis un peu bloquée sur mon exercice

1) montrer que pour tout n entier naturel

3n³ - 11n + 48 est divisible par n + 3

J'ai essayé de factoriser en faisant apparaitre n+3 mais c'est la galère

Montrer que pour tout entier naturel n

3n² - 9n + 16 est un entier naturel non nul

J'ai réussi à montrer que c'est non nul mais mais pas que c'est un entier naturel

2) montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l'égalité suivante est vraie:

PGCD(3n³ - 11n ; n + 3)=PGCD(48 ; n + 3)

3) Trouver l'ensemble des entiers naturels n tels que (3n³ - 11n)/(n + 3) soit un entier naturel.

Bonjour,

Indique tes calculs pour la factorisation.

salut Meredith

question 1) est-ce que -3 est racine de 3n³ - 11n + 48 ?

que peux-tu en déduire ?

[doublon après Noemi : excuses. NdZ]

On peut donc factoriser par (n+3)

oui bien sûr : identifie alors (n + 3)(a n² + b n + c) = 3n³ - 11n + 48 voir si ça fait des coeff entiers.

à mon avis le 3n² - 9n + 16 de la question suivante ne doit pas être loin, non ?

Oui si tu trouves a, b et c tel que :
3n³ - 11n + 48 = (n + 3) (an² + bn + c)

Ah ouiiiii ça fait (n+3)(3n²-9n+16) !!
Donc pour cette question c'est bon

et pour la 2e partie de la qst jpeux faire comment ?

à savoir, que (3n²-9n+16) est un entier naturel non nul ?

ben puisque n est entier naturel non nul, hein... faut regarder avec les racines du trinôme.

ah oui je factorise ? mais je peux pas puisque 3n²-9n+16=0 n'a pas de solution

en effet ; donc c'est toujours du signe du coefficient dominant : strictement positif !

ensuite c'est entier... pour quelle raison ?

Parce que n est entier est qu'on le multiplie a des nombres entiers tels que 3 -9 et 16

tout à fait.

maintenant as-tu réussi à aborder le pb de

PGCD(3n³ - 11n ; n + 3) = PGCD(48 ; n + 3),
sachant que 3n³-11n+48 = (n+3)(3n²-9n+16) ?

Non je ne vois pas comment faire enfin si n≥2 alors n+3≥5
PGCD(3n³ - 11n ; n + 3)=PGCD(n+3;5) ??

stop !

pense à faire une combinaison liant 3n³ - 11n avec 48 et n+3.

Une combinaison ? c'est a dire ?

3n³ - 11n=-48 ??

essaie par ex plutôt d'écrire

3n³ - 11n = ...
avec une expression contenant entre autres 48 et n+3.

pense à (n+3)(3n²-9n+16)...

3n³ - 11n = - 48 ?? est-ce sa ?

ensuite je fais quoi de ça ??

nonon ce n'est pas correct !

tiens compte de ce que j'ai écrit à 20:57

bah oui mais je ne vois pas du tout ce que ça peut étre

tu as vu tout-à-l'heure que

3n³ - 11n + 48 = (n+3)(3n²-9n+16).
que peux-tu en déduire pour 3n³ - 11n, dans le contexte ?

Ben je suis désolée je vois vrmt pas

3n³ - 11n = 3n³ - 11n + 48 - 48 = (n+3)(3n²-9n+16) - 48

donc

PGCD(3n³-11n ; n+3)
= PGCD( (n+3)(3n²-9n+16) - 48 ; n+3)
= PGCD(-48 ; n+3)
= PGCD(48 ; n+3).

voilà réfléchis à cela.

Ok merci bien

Quelqu'un pourrait il m'aider pour la derniére quesrtion please ????

salut

on va essayer.

alors on sait que pour tout n sup. à 2

PGCD(3n³ - 11n ; n + 3)=PGCD(48 ; n + 3)

**3) Trouver l'ensemble des entiers naturels n tels que

(3n³ - 11n)/(n + 3)
soit un entier naturel.**

quel lien peux-tu faire entre le problème et ce que l'on sait ?

suite du monologue...

(3n³ - 11n)/(n + 3) est un entier naturel ssi n+3
...............3n³-11n
à compléter stp.

note : tout ça pour en venir à faire intervenir 48 pour obtenir une condition sur n.