Exprimer les parties réelle et imaginaire de nombres complexes

Bonjour a tous, voilà je suis bloqué à un DM que je cherche depuis quelques jours et j'aimerais avoir votre aide car je ne comprends pas tout.
Voici l'énoncé:
on note A le point d'affixe -2i
pour z≠-2i z'=f(z)= (z-2+i)/(z+2i)

Si z=x+iy exprimer Im(z') et Re(z') en fonction de x et y
On verifiera Re(z')= x²+y²-2x+3y+2/x²+(y+2)²

a. Determiner l'ensemble E des pts M d'affixe z tels que z' est un reel
b. ----------------------F-----------------------------------------imaginaire pur,eventuellement nul
c) representer ces deux ensembles

a. soit z un nb complexe≠ -2i calculer (f(z)-1) x (z+2i)

b. en déduire que les pts M' d'affixe z' , lorsque M d'affixe z parcourt le cercle de centre A et de rayon √5 sont tous sur un meme cercle C. Préciser le rayon ainsi que l'affixe du centre de C.

Je sais que pour le 1 il faut multiplier par le conjugué [x-i(y+2)] mais je n'ai pas trouvé la solution merci

Bonjour,

Indique tes calculs et tu auras des pistes pour une éventuelle correction.

Noemi
Bonjour,

Indique tes calculs et tu auras des pistes pour une éventuelle correction.

Alors le conjugué est [x-i(y+2)]

Et je trouve x²-2ix+y²-2x+2yi+4i+ix+3y+2 pour le numérateur

Ce qui fait qu'il reste -2ix+2yi+4i+ix mais bon en fait je n'ai pas tout compris et là je bloque réellement , merci

Ton calcul est juste, tu dois isoler les parties réelles et imaginaires.

a partir de quel résultat ? merci de votre intérêt

A partir de (x²-2ix+y²-2x+2yi+4i+ix+3y+2)/(x²+(y+2)²)
= Re(z') +i Im(z')
tu isoles la partie réelle et la partie imaginaire.

Donc si j'ai bien compris:

Im(z')= -2ix+2yi+4i+ix
et Re(z')= (x²+y²-2x+3y+2)/x²+(y+2)² ?
Mais comment faire ensuite pour les ensembles ?

Pour Im(z') tu as oublié le dénominateur et il n'y a pas i.

Pour la question a, tu simplifies l'expression de Im(z') et tu résous Im(z') = 0

Comment ça il n'y pas i ?
Donc Im(z')= -2ix+2yi+4i+ix / x²+(y+2)² ?
Mais je ne vois pas comment on pourrait le simplifier ?

et donc pour la question b ce sera donc Re(z')=0 ?

Quand tu écris z = x + iy,
x est la partie réelle de z ;
y est la partie imaginaire de z

Tu as donc : Im(z')=(-2x+2y+4+x )/[ x²+(y+2)²]
et tu peux simplifier car -2x+ x = ....

Oui pour la b) c'est bien résoudre Réel(z') = 0

Il faudrait arriver à cela:

-x+2(y+2) / x²+(y+2)² ?

qui aboutirait à -x+2 / x²+y+2 ?

mais on doit en déduire quoi ?

Je suis désolé mais je suis vraiment perdu avec ce DM.

Ta simplification est fausse.

Tu dois résoudre : -x+2(y+2) = 0
qui est l'équation .....

cela fait y=-2 et x=0 ? mais il peut y avoir plusieurs possibilités pour x et y ?

Oui tu as une infinité de possibilités, tu dois indiquer l'ensemble E des points M.
Si tu représentes tous ces points , tu obtiens .......

un cercle donc ! mais comment trouver le centre et le rayon ?

Pourquoi un cercle ?
Equation générale d'un cercle ?

ah non désolé ce sera une droite le cercle c'est pour l'ensemble F non ?

Oui c'est une droite pour a et un cercle pour b.

D'accord merci je m'arrête pour l'instant et je reviendrai si j'ai quelque problème pour la 2)
Bonne soirée