Traduire un énoncé par une fonction et résoudre

[tibo42]

Bonjour, voila l'exercice que j'ai à faire:

Exercice :

1. On dépose une bille sphérique de rayon 5cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16cm et contenant V0 cm3 d'eau. La surface de l'eau est tangente à la bille. ( l'eau arrive à une hauteur de 10cm sur le schéma )
   Calculer le volume V0 d'eau contenu dans le récipient.

2. Pour les billes sphériques de rayon x cm, avec 0<x<=8(inférieur ou égale à 8), plongées dans le récipient contenant V0 cm3 d'eau, on se propose de savoir si la bille dépasse ou non de la surface de l'eau. On note V(x) le volume d'eau, en cm3, nécessaire pour recouvrir exactement la bille et on note f(x)= V(x)- V0
   a) Vérifier que f(x) = 4/3pi (-x3 + 96x -355)
   b) Démontrer que pour tout x ]0;8[ , f(x) = 4/3pi (x-5)(ax²+bx+c) où a,b,c sont des réels à préciser.
   c) Existe t-il une valeur x0 de x , autre que 5 pour laquelle il y a affleurement ? Si oui , déterminer l'arrondi au dixième de x0.
   d) Déterminer le signe de f(x), à l'aide d'un tableau de signes.
   e) En déduire les valeurs de x, pour lesquelles les billes sont recouvertes par l'eau, et celles pour lesquelles les billes sortent de l'eau.

Voila ce que j'ai fais:

1)Vo= Volume cylindre- Volume bille
Volume cylindre = 4/3pi8²10=640pi
Volume bille = 4/3piR² = 500/3pi
Vo= 640pi-(500/3)pi=1420/3pi

a)Pour cette question pas de problème : à la place de mettre le rayon de la bille, j'ai mis x. Je trouve bien le bon résultat.

b) Je pense avoir juste, c'est juste pour la rédaction où j'aimerai savoir si c'est correct

On veut démontrer que f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c) x sachant déjà que f(x)=4/3(-5x^3+96x-355.
Résolvons l'équation (x-5)(ax²+bx+c)=0
ax^3+(b-5a)x²+(c-5b)x+5c
Par identification des coefficients des monômes de même degrés de 2 polynômes, on a :
a=-1
b-5a=0
c-5b=96
-5c=-355

a=-1
b=5a
-5b=96-c
-c=-355/5

a=-1
b=-5
c=71

Soit f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c) x
f(x)=4/3pi(x-5)(-x²-5x+71)

Voila je pense que c'est juste puisque je trouve pareil que vous mais j'aimerai savoir si la rédaction est bonne, ça serai bête de perdre des points à cause de ça.

Pourrais-je avoir de l'aide pour la question 2)c) S'il vous plait ?
Faut-il que j'utilise Δ avec f(x)=4/3pi(x-5)(-x²-5x+71) ?

[Noemi]

Bonjour,

Question 1 : Recalcule le volume du cylindre
Question 2 : Pourquoi écrire résoudre l'équation puisque tu développes.

c) oui, calcule le discriminant.

[tibo42]

Bonjour, pour la question 1 je ne vois pas mon erreur: le volume d'un cylindre est bien pi×R²×H Soit Pi×8²×10=640pi
et le volume de la bille c'est 4/3pi×R au cube=500pi/3

Vcylindre-Vbille = 1420Pi/3

Pour la question 2 en effet je n'aurais pas du mettre "Résoudre" mais "developper"

Pour Δ je trouve 309 ce qui fait 2 racines : 6,29 et -11,28
On garde que la première car l'autre est négative.
Donc Xo≈6,3

Pour la question d) le tableau de signes c'est avec les 2 racines "5" et "6,29"?

[Noemi]

Exact pour le volume du cylindre, tu avais noté : Volume cylindre = 4/3pi*8²10

Pour le tableau de signe, tu prends toutes les valeurs qui annule f(x)

[tibo42]

${}^{Avecletableaudesignesjetrouvequef(x)estpositiveentre5et6,3.Pourladerni\grave{e}requestion{j}^{\prime }aijuste\grave{a}r\acute{e}sumerletableaudesignenon?:Lorsquexestcomprisentre]-oo;5[\cup ]6,3;+oo[alorslesbillessontrecouvertespar{l}^{\prime }eau.Lorsquexestcompritentre]5;6,3[alorslabillesortde{l}^{\prime }auEtlorsquex=5;6,3alors{l}^{\prime }eauesttangeant\grave{a}labille}$

[Noemi]

Bien c'est juste.

[tibo42]

D'accord merci