Suite recurrente bornée



  • Bonjour, je suis bloqué sur ce problème depuis un moment.

    La suite numérique est définie sur N par la donnée de u0u_0=0 et par la relation de récurrence

    Pour tout n dans N uu_{n+1}=(2un=(2u_n+3)÷(un(u_n+4)

    Et la on me demande de montrer que pour tout n∈N*, 0< unu_n <1 et que la suite est croissante.

    Donc, j'ai prouvé que la suite était croissante en faisant la dérivée de la fonction f(unf(u_n), et j'ai fait l'initialisation de la recurrence. Mais apres je suis completement bloqué. :frowning2:



  • Bonsoir,

    Par récurrence la propriété est vraie pour l'ordre 0 car u0u_0 = 0 qui est compris entre 0 et 1

    Supposons que la propriété reste vrai pour l'ordre n et demontrons qu'elle est vraie pour l'ordre (n + 1)

    Tout d'abord ( 2un2u_n + 3 ) : ( unu_n + 4 ) = 2 - (5):(un(u_n + 4)

    La propriété est vraie pour l'ordre n c'est a dire 0 < unu_n < 1
    4 < unu_n + 4 < 5 et 1/5 < (1):(un(u_n + 4) < 1/4
    donc 5/5 < (5):(un(u_n + 4) < 5/4
    donc -5/4 < -(5):(un(u_n + 4) < -1
    alors 2 - 5/4 < 2 - (5):(un(u_n + 4) < 2 - 1
    donc 3/4 < 2 - (5):(un(u_n + 4) < 1
    par suite 0 < un+1u_{n + 1} < 1 ce qu'il faut démontrer

    Montrons que (un(u_n) est croissante en étudiant le signe de un+1u_{n+1} - unu_n
    or un+1u_{n+1} - unu_n = ( 2un2u_n + 3 ) : ( unu_n + 4 ) - unu_n
    = (2un(2u_n + 3 - uu^2n_n - 4un4u_n) : ( unu_n + 4 )
    = (- uu^2n_n - 2un2u_n + 3) : ( unu_n + 4 )
    = (un-(u_n - 1)( unu_n + 3 ) : ( unu_n + 4 )

    qui est strictement positif parce que 0 < unu_n < 1
    Par suite un+1u_{n+1} - unu_n > 0 pour tout entier naturel n et alors (un(u_n) est une suite croissante

    A bientôt
    Bonne chance



  • Quelqu'un peut confirmer cette méthode? J'ai jamais vu cette facon de procéder, c'est pour ca.


  • Modérateurs

    Cette méthode est correcte, sauf qu'il y a une erreur :
    4 < unu_n+4< 5 implique 1/4> 1/(un1/(u_n+4) > 1/5
    Décompose (2u(2u_n+3)/(un+3)/(u_n+4) = 2 - .....



  • Merci à vous deux!!!! 😉



  • Et apres dans le meme exercice on me donne
    pour tout n dans N vn=un1un+3v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}

    Et on me dit de montrer que c'est une suite géomètrique convergente.
    "Bon la y a pas de problème"
    Mais apres on me dit de calculer unu_n en fonction de n.
    Alors la je sais pas du tout comment faire 😕



  • Bonsoir

    vnv_n = ( unu_n - 1 ) : ( unu_n + 3 )
    donc vnv_n ( unu_n + 3 ) = unu_n - 1
    donc unu_n . vnv_n + 3vn3v_n = unu_n - 1
    donc unu_n ( vnv_n - 1 ) = -1 3vn-3v_n
    par suite unu_n = ( - 1 - 3vn3v_n ) : ( vnv_n - 1) = ( 1 + 3vn3v_n ) : ( 1 - vnv_n )

    comme ( vnv_n ) est une suite geometrique de raison q = 1/5
    avec v0v_0 = -1/3
    donc vnv_n = v0v_0.qn+1q^{n + 1} = -1/3.(1/5)n+1(1/5)^{n + 1}

    D'ou unu_n = ( 1 + 3(-1/3).(1/5)n+1(1/5)^{n + 1} ) : ( 1 - (-1/3).(1/5)n+1(1/5)^{n + 1} ) = ( 1 - (1/5)n+1(1/5)^{n + 1} ) : ( 1 - (-1/3).(1/5)n+1(1/5)^{n + 1} )

    Bonne continuation
    Bonne chance



  • Merci pour ton coup de main hitman, malgré une petite faute:

    VV_n=V0=V_0.qnq^n



  • Bonsoir

    Oui oui tu as raison je suis desole


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    As-tu résolu la question sur l'encadrement de unu_n ?


 

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