Suite recurrente bornée

Bonjour, je suis bloqué sur ce problème depuis un moment.

La suite numérique est définie sur N par la donnée de $u_0$ =0 et par la relation de récurrence

Pour tout n dans N $u$ _{n+1} $2u_n$ +3)÷ $u_n$ +4)

Et la on me demande de montrer que pour tout n∈N*, 0< $u_n$ <1 et que la suite est croissante.

Donc, j'ai prouvé que la suite était croissante en faisant la dérivée de la fonction $f(u_n$ ), et j'ai fait l'initialisation de la recurrence. Mais apres je suis completement bloqué. :frowning2:

Bonsoir,

Par récurrence la propriété est vraie pour l'ordre 0 car $u_0$ = 0 qui est compris entre 0 et 1

Supposons que la propriété reste vrai pour l'ordre n et demontrons qu'elle est vraie pour l'ordre (n + 1)

Tout d'abord ( $2u_n$ + 3 ) : ( $u_n$ + 4 ) = 2 - (5): $u_n$ + 4)

La propriété est vraie pour l'ordre n c'est a dire 0 < $u_n$ < 1
4 < $u_n$ + 4 < 5 et 1/5 < (1): $u_n$ + 4) < 1/4
donc 5/5 < (5): $u_n$ + 4) < 5/4
donc -5/4 < -(5): $u_n$ + 4) < -1
alors 2 - 5/4 < 2 - (5): $u_n$ + 4) < 2 - 1
donc 3/4 < 2 - (5): $u_n$ + 4) < 1
par suite 0 < $u_{n + 1}$ < 1 ce qu'il faut démontrer

Montrons que $u_n$ ) est croissante en étudiant le signe de $u_{n+1}$ - $u_n$
or $u_{n+1}$ - $u_n$ = ( $2u_n$ + 3 ) : ( $u_n$ + 4 ) - $u_n$
= $2u_n$ + 3 - $u$ ^2 $_n$ - $4u_n$ ) : ( $u_n$ + 4 )
= (- $u$ ^2 $_n$ - $2u_n$ + 3) : ( $u_n$ + 4 )
= $u_n$ - 1)( $u_n$ + 3 ) : ( $u_n$ + 4 )

qui est strictement positif parce que 0 < $u_n$ < 1
Par suite $u_{n+1}$ - $u_n$ > 0 pour tout entier naturel n et alors $u_n$ ) est une suite croissante

A bientôt
Bonne chance

Quelqu'un peut confirmer cette méthode? J'ai jamais vu cette facon de procéder, c'est pour ca.

Cette méthode est correcte, sauf qu'il y a une erreur :
4 < $u_n$ +4< 5 implique 1/4> $1/(u_n$ +4) > 1/5
Décompose $(2 u$ _n $3)/(u_n$ +4) = 2 - .....

Merci à vous deux!!!!

Et apres dans le meme exercice on me donne
pour tout n dans N $vn=un−1un+3v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}$

Et on me dit de montrer que c'est une suite géomètrique convergente.
"Bon la y a pas de problème"
Mais apres on me dit de calculer $u_n$ en fonction de n.
Alors la je sais pas du tout comment faire

Bonsoir

$v_n$ = ( $u_n$ - 1 ) : ( $u_n$ + 3 )
donc $v_n$ ( $u_n$ + 3 ) = $u_n$ - 1
donc $u_n$ . $v_n$ + $3v_n$ = $u_n$ - 1
donc $u_n$ ( $v_n$ - 1 ) = -1 $3v_n$
par suite $u_n$ = ( - 1 - $3v_n$ ) : ( $v_n$ - 1) = ( 1 + $3v_n$ ) : ( 1 - $v_n$ )

comme ( $v_n$ ) est une suite geometrique de raison q = 1/5
avec $v_0$ = -1/3
donc $v_n$ = $v_0$ . $q^{n + 1}$ = -1/3. $1/5)^{n + 1}$

D'ou $u_n$ = ( 1 + 3(-1/3). $1/5)^{n + 1}$ ) : ( 1 - (-1/3). $1/5)^{n + 1}$ ) = ( 1 - $1/5)^{n + 1}$ ) : ( 1 - (-1/3). $1/5)^{n + 1}$ )

Bonne continuation
Bonne chance

Merci pour ton coup de main hitman, malgré une petite faute:

$V$ _n $V_0$ . $q^n$

Bonsoir

Oui oui tu as raison je suis desole

Bonsoir,

As-tu résolu la question sur l'encadrement de $u_n$ ?