vecteurs : GA + GB + GC = vecteur nul dans un triangle

bonjour, j'aurais besoin d'aide, je me casse la tête sur 2 questions, je réfléchis mais je ne trouve pas, alors je me demandais si vous pouviez me donner un petit coup de main et une petite explication rapide si possible!
d'avance merci beaucoup à ceux qui me répondront et m'aideront !

ABC est un triangle. G son centre de gravité.
A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' milieu de [AB].
E et D sont les symétriques respectifs de G par rapport à B' et A'

a) Exprimer chacun des vecteurs GA, GB et GC en fonction des vecteurs CD et CE.

b) Simplifier GA+GB+GC ( ce sont les vecteurs)

Bonjour,
Que peux-tu dire du quadrilatère AECG ?

AECG est un parallèlogramme, CGBD aussi et DCEG aussi

Exact, mais il faut justifier.

Ensuite, les parallélogrammes fournissent des égalités de vecteurs.

oui je l'ai justifier que ce sont des parallélogrammes,
donc pour la première question, ça ferait le vecteur GA = au vecteur CE; le vecteur GB= CD; et le vecteur GC = aux vecteurs CE+ EG
= aux vecteurs CE+CD ( CD vu qu'il est égal au vecteur EG)

c'est ça la réponse à la première question??

par contre la deuxième je cherche mais ne trouve pas, j'ai remplacé les vecteurs par des autres vecteurs en utilisant la relation de Chasles mais je tourne en rond!

vect GA = vect CE : oui
vect GB = vect CD : oui
Mais vect GC = vect CE + vect EG :
non: ce serait CE + EG = CG ( relation de Chasles )
Mais ici, il faut exprimer GC en fonction de CE
et CD( les vecteurs évidemment ).
Pour cela, utilise le parallélogramme GECD.

comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
-->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC
ou il suffit de dire que G est le centre de gravité du triangle ABC donc les vecteurs GA+GB+GC = vecteur nul?? car le sujet dit de simplifier ??!!

mais après je ne sais pas comment faire!
2) on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!

mathtous

Mais vect GC = vect CE + vect EG :
non: ce serait CE + EG = CG ( relation de Chasles )
Mais ici, il faut exprimer GC en fonction de CE
et CD( les vecteurs évidemment ).
Pour cela, utilise le parallélogramme GECD.

mais CE+EG= CG mais le vect EG on peut le remplacer par CD non?? vu que qu'ils sont égaux ces deux vecteurs ?

Oui, mais il reste ta confusion entre CG et GC
CG = CE + EG = CE + CD
Donc GC = ?

donc GC= CE+CD non ??!
j'ai apporté une modification au message juste avant celui ou je vous cite!

Chaque chose en son temps.
Citation
donc GC= CD évidemment ( relation de chales)GC = CD : évidemment non : regarde le dessin.

j'ai trouvé!
GC= -CD-CE

comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
-->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC

mais après je ne sais pas comment faire!
2) on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!

STP : n'envoie qu'un message à la fois sinon on s'y perd.
CG = CE + EG = CE + CD : oui
Donc je te demandais ensuite GC ?
Les deux vecteurs GC et CG sont opposés.
CG = CE + CD
Donc GC = ?? Pour l'instant, répond juste à cela, on verra la suite après.

GC= -CD-CE

Oui.
Maintenant, tu peux calculer GA + GB + GC

GA+GB+GC= CE+CD+(-CD-CE)
GA+GB+GC= vecteur nul

c'ets ça normalement ??!!

on peut continuer sur la 2 ème partie si c'est ça, je veux dire vous pouvez continuez à m'aider pour la suite svp ?

Oui, la somme est égale au vecteur nul.
Retiens : si G est le centre de gravité du triangle ABC , alors
vect GA + vect GB + vect GC = vect nul.

Tu peux passer à la question suivante .
Tu as fait :
HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC
Utilise le résultat précédent.

ah oui donc ça fait 3HG + vecteur nul donc HA+HB+HC = 3HG

Résumons : pour tout point H du plan ( ne le place pas à un endroit particulier ) : HA + HB + HC = 3HG

On suppose ensuite que HA + HB + HC = vect nul.
Qu'en résulte-t-il ?

eh bien on me demande de prouver alors que G et H sont confondus!

HA + HB + HC = 3HG
Si HA + HB + HC = 0 ( vecteur nul ) ,
alors ... ( remplace )

H est est le centre de gravité comme G, ils sont confondus vu que GA +GB+GC = vecteur nul??!!

3ème partie(dernière):
"On va situer le centre de gravité"

Montrer que AB+AC=2AA'
2)a) Montrer que pour tout point M du plan, MA + MB+MC=3MG
b) Noter alors l'égalité obtenue pour M=A
En déduire une méthode permettant de construire le centre de gravité d'un triangle en ne traçant qu'une seule médiane.

Citation
H est est le centre de gravité comme G, ils sont confondus vu que GA +GB+GC = vecteur nul??!!
Non : GA + GB + GC = 0 ne prouve pas que H est le c.d.g. du triangle.( c'est précisément ce qu'on souhaite démontrer ).

Reprends ici :
HA + HB + HC=
3HG
Si
HA + HB + HC=
0( vecteur nul ) ,
alors ??

3HG = vect nul?

Oui.
Donc HG = 0 aussi
Et cela prouve que G et H sont confondus.
Retiens : si vect MN = 0 ( vect nul ) alors M = N

Pour la question 3 , il y a une erreur dans ton énoncé du 2)a) : l'égalité est fausse : si tu recommences comme avec H, tu dois trouver MA + MB + MC = 3MG et pas MG.
Corige l'énoncé, mais d'abord traite la question 1)

oui c'ets 3MG pardon

Ok : ça a déjà été fait avec H.
Mais et la question 1) ?
Tu dois calculer vect AB + vect AC en fonction de AA'

eh bien j'en arrive là:
AB+AC= ( AA'+A'B) + ( AA'+A'C)
AB+AC= 2AA'+A'B+A'C

ensuite je ne vois pas, mais je sais que A'B et A'C sont égaux, ça c'ets sur vu que A' ets le milieu de [BC]mais je ne sais pas s'il faut utiliser ça!

Si : il faut utiliser le fait que A' est le milieu de [BC].
Sauf que les deux vecteurs A'B et A'C ne sont pas égaux !! ils sont ??

opposés donc ça fait que A'B + A'C = 0 (vect nul)
donc AB+AC = 2A'A

Attention : 2AA' , pas 2A'A
Tu peux passer à la suite.

oui donc
MA+MB+MC= (MG+GA)+(MG+GB)+(MG+GC)= 3MG+(GA+GB+GC)= 3MG+0 =3MG
MA+MB+MC=3MG

Oui, c'est le même calcul que pour H

Applique cette égaqlité , vraie pour tout M, lorsque M = A.

je ne comprends pas très votre deuxième phrase ??!!

MA+MB+MC=3MG
C'est vrai pour tout point M, donc ça reste vrai si M = A, c'est-à-dire si je remplace M par A :
AA + AB + AC = 3AG
Et puisque AA est nul :
AB + AC = 3AG
Mais on sait aussi que AB + AC = 2AA'
Donc 3AG = 2AA'
Cela permet de construire G uniquement en traçant la médiane (AA') ( et pas les deux autres ).

donc quand ils disent noter alors l'égalité obtenue pour M=A je dois mettre quoi?

Ca :
Citation
C'est vrai pour tout point M, donc ça reste vrai si M = A, c'est-à-dire si je remplace M par A :
AA + AB + AC = 3AG

Et tu peux continuer.

Maintenant je dois me déconnecter.
A+

bon eh bien j'ai terminé, je vous remercie énormément de m'avoir aidé en plus ce qui est bien c'ets que c'ets moi qui ai trouvé les réponses à partir de vos indications, et non pas vous qui m'avait direct donné la réponse!
dîtes j'aimerais savoir si c'ets possible, pourrais je avoir votre adresse e-mail si un jour j'ai à nouveau besoin d'une explication ou d'une petite aide ??
si ça ne vous dérange pas bien sûr!

Bonjour,

Si tu as d'autres questions , il est plus facile de les poster ici que d'utiliser un autre support où les expressions mathématiques sont impossibles à écrire de façon lisible !