vecteurs : GA + GB + GC = vecteur nul dans un triangle



  • bonjour, j'aurais besoin d'aide, je me casse la tête sur 2 questions, je réfléchis mais je ne trouve pas, alors je me demandais si vous pouviez me donner un petit coup de main et une petite explication rapide si possible!
    d'avance merci beaucoup à ceux qui me répondront et m'aideront ! 😉

    ABC est un triangle. G son centre de gravité.
    A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' milieu de [AB].
    E et D sont les symétriques respectifs de G par rapport à B' et A'

    a) Exprimer chacun des vecteurs GA, GB et GC en fonction des vecteurs CD et CE.

    b) Simplifier GA+GB+GC ( ce sont les vecteurs)



  • Bonjour,
    Que peux-tu dire du quadrilatère AECG ?



  • AECG est un parallèlogramme, CGBD aussi et DCEG aussi



  • Exact, mais il faut justifier.

    Ensuite, les parallélogrammes fournissent des égalités de vecteurs.



  • oui je l'ai justifier que ce sont des parallélogrammes,
    donc pour la première question, ça ferait le vecteur GA = au vecteur CE; le vecteur GB= CD; et le vecteur GC = aux vecteurs CE+ EG
    = aux vecteurs CE+CD ( CD vu qu'il est égal au vecteur EG)

    c'est ça la réponse à la première question??

    par contre la deuxième je cherche mais ne trouve pas, j'ai remplacé les vecteurs par des autres vecteurs en utilisant la relation de Chasles mais je tourne en rond!



  • vect GA = vect CE : oui
    vect GB = vect CD : oui
    Mais vect GC = vect CE + vect EG :
    non: ce serait CE + EG = CG ( relation de Chasles )
    Mais ici, il faut exprimer GC en fonction de CE
    et CD( les vecteurs évidemment ).
    Pour cela, utilise le parallélogramme GECD.



  • comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
    on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

    1. soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
      A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
      -->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC
      ou il suffit de dire que G est le centre de gravité du triangle ABC donc les vecteurs GA+GB+GC = vecteur nul?? car le sujet dit de simplifier ??!!

    mais après je ne sais pas comment faire!

    1. on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

    désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!



  • mathtous

    Mais vect GC = vect CE + vect EG :
    non: ce serait CE + EG = CG ( relation de Chasles )
    Mais ici, il faut exprimer GC en fonction de CE
    et CD( les vecteurs évidemment ).
    Pour cela, utilise le parallélogramme GECD.

    mais CE+EG= CG mais le vect EG on peut le remplacer par CD non?? vu que qu'ils sont égaux ces deux vecteurs ?



  • Oui, mais il reste ta confusion entre CG et GC
    CG = CE + EG = CE + CD
    Donc GC = ?



  • donc GC= CE+CD non ??!
    j'ai apporté une modification au message juste avant celui ou je vous cite!



  • Chaque chose en son temps.
    Citation
    donc GC= CD évidemment ( relation de chales)GC = CD : évidemment non : regarde le dessin.



  • j'ai trouvé!
    GC= -CD-CE



  • comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
    on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

    1. soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
      A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
      -->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC

    mais après je ne sais pas comment faire!

    1. on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

    désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!



  • STP : n'envoie qu'un message à la fois sinon on s'y perd.
    CG = CE + EG = CE + CD : oui
    Donc je te demandais ensuite GC ?
    Les deux vecteurs GC et CG sont opposés.
    CG = CE + CD
    Donc GC = ?? Pour l'instant, répond juste à cela, on verra la suite après.



  • GC= -CD-CE



  • Oui.
    Maintenant, tu peux calculer GA + GB + GC



  • GA+GB+GC= CE+CD+(-CD-CE)
    GA+GB+GC= vecteur nul

    c'ets ça normalement ??!!

    on peut continuer sur la 2 ème partie si c'est ça, je veux dire vous pouvez continuez à m'aider pour la suite svp ?



  • Oui, la somme est égale au vecteur nul.
    Retiens : si G est le centre de gravité du triangle ABC , alors
    vect GA + vect GB + vect GC = vect nul.

    Tu peux passer à la question suivante .
    Tu as fait :
    HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC
    Utilise le résultat précédent.



  • ah oui donc ça fait 3HG + vecteur nul donc HA+HB+HC = 3HG



  • Résumons : pour tout point H du plan ( ne le place pas à un endroit particulier ) : HA + HB + HC = 3HG

    On suppose ensuite que HA + HB + HC = vect nul.
    Qu'en résulte-t-il ?



  • eh bien on me demande de prouver alors que G et H sont confondus!



  • HA + HB + HC = 3HG
    Si HA + HB + HC = 0 ( vecteur nul ) ,
    alors ... ( remplace )



  • H est est le centre de gravité comme G, ils sont confondus vu que GA +GB+GC = vecteur nul??!!

    3ème partie(dernière):
    "On va situer le centre de gravité"

    1. Montrer que AB+AC=2AA'
      2)a) Montrer que pour tout point M du plan, MA + MB+MC=3MG
      b) Noter alors l'égalité obtenue pour M=A
    2. En déduire une méthode permettant de construire le centre de gravité d'un triangle en ne traçant qu'une seule médiane.


  • Citation
    H est est le centre de gravité comme G, ils sont confondus vu que GA +GB+GC = vecteur nul??!!
    Non : GA + GB + GC = 0 ne prouve pas que H est le c.d.g. du triangle.( c'est précisément ce qu'on souhaite démontrer ).

    Reprends ici :
    HA + HB + HC=
    3HG
    Si
    HA + HB + HC=
    0( vecteur nul ) ,
    alors ??



  • 3HG = vect nul?



  • Oui.
    Donc HG = 0 aussi
    Et cela prouve que G et H sont confondus.
    Retiens : si vect MN = 0 ( vect nul ) alors M = N

    Pour la question 3 , il y a une erreur dans ton énoncé du 2)a) : l'égalité est fausse : si tu recommences comme avec H, tu dois trouver MA + MB + MC = 3MG et pas MG.
    Corige l'énoncé, mais d'abord traite la question 1)



  • oui c'ets 3MG pardon



  • Ok : ça a déjà été fait avec H.
    Mais et la question 1) ?
    Tu dois calculer vect AB + vect AC en fonction de AA'



  • eh bien j'en arrive là:
    AB+AC= ( AA'+A'B) + ( AA'+A'C)
    AB+AC= 2AA'+A'B+A'C

    ensuite je ne vois pas, mais je sais que A'B et A'C sont égaux, ça c'ets sur vu que A' ets le milieu de [BC]mais je ne sais pas s'il faut utiliser ça!



  • Si : il faut utiliser le fait que A' est le milieu de [BC].
    Sauf que les deux vecteurs A'B et A'C ne sont pas égaux !! ils sont ??


 

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