QUESTION SIMPLE SUR LES COMPLEXES Terminale S

Bonjour.
Je bloque totalement sur une question qui, je pense, est pourtant plutot simple. La voici:

(1): $z^2$ -(1+3i)z-6+9i =0
(2): $z^2$ -(1+3i)z+4+4i =0

Monter que l'équation (1) admet une unique solution réelle z1 et l'équation (2) une unique solution imaginaire pure z2.

J'ai commencé par dire que si (1) admettait une unique solution réelle, alors z=x. J'ai donc posé:
$x^2$ -(1+3i)x-6+9i =0
<=> $x^2$ -x-6-i(3x-9) =0
Sauf que comme c'est une solution reelle il n'est pas censé y avoir de i... Comment faire pour m'en débarrasser?
J'ai aussi calculé le discriminant de $x^2$ -x-6, égal à 25. Mais la aussi, si le discriminant est positif il y a 2 solutions... Or, on doit trouver une unique solution...

Si quelqu'un pouvait m'aider assez rapidement... Merci beaucoup.

salut

pose plutôt z = a+ib et remplace dans chacune des équations.

@+

Oui mais comme il faut trouver une unique solution réelle, j'ai posé z=a.
Enfin j'ai pris x. Donc ca donne: x2-x-6-i(3x-9) =0
En calculant le discriminant je trouve 2 solutions: 3 et -2. Or, il faut trouver une unique solution...
Donc?!

Tu ne peux pas appliquer la méthode du discriminant , elle ne marche qu'avec des coefficients réels

Il faut utiliser la méthode donnée par Zauctore. Remplace z par x + iy

Développe , regroupe tout et décompose en (partie réelle) + i(partie imaginaire) = 0

Il faut donc que partie réelle = 0 et que partie imaginaire = 0

Merci beaucoup!
J'ai donc fais ce que vous m'avez dis:
Pour la premiere equation, j'ai posé z=x+iy
Or, on cherche à ecrire z sous la forme z=x car on cherche une unique solution reelle.
z est solution donc j'ai remplacé z par x, ce qui donne:
$x^2$ -(1+3i)x-6+9i =0
<=> $x^2$ -x-3ix-6+9i =0
<=> $x^2$ -x-6-i(3x-9) =0

D'après ce que vous me dites, il faudrait donc que j'ai
$x^2$ -x-6=0 et 3x-9=0 ??

Si oui, j'ai calculé le discriminant de $x^2$ -x-6, egal a 25. J'ai donc 2 solutions: 3 et -2
Or, 3x-9=0 <=> x=3, -2 ne convient pas.
Est-ce que cette justification suffit pour dire que -2 n'est pas solution?

Merci beaucoup pour votre aide.

Bonjour,

x²-x-6-i(3x-9) =0
Comme x est réel alors il faut que
x²-x-6=0 et 3x-9=0
Les deux équations doivent être vérifiées.
Donc x = 3 est la seule solution.