Les barycentres, problème pour les deux dernières questions d'un exercice devoir maison

Bonjour,

j'ai un devoir maison à rendre pour jeudi 17; j'ai déjà fait le premier exercice qui était sur la géométrie vectorielle, mais j'ai un problème pour les deux dernières questions du deuxième exercice, sur les barycentres.

Peut-être pourriez-vous m'aider à les comprendre, je vous écris l'énoncé en son entier (peut-être est-ce important):

On considère ABCD; on note I le milieu de [AB] et J celui de [CD]. 1.a) Soit $G_1$ =bar{(A,1);(B,1);(C,-1);(D,1)}, Exprimez $ig1⃗\vec{ig1}$ , en fonction de $cd⃗\vec{cd}$ . Faites une figure et placez I, J et $G_1$ .

→ J'ai trouvé: par associativité $G_1$ =bar{(I,2);(C,-1);(D,1)} car I est lisobarycentre de (A,1) et (B,1). Puis j'ai trouvé $ig1⃗\vec{ig1}$ = $12\frac{1}{2}$ $cd⃗\vec{cd}$ avec la propriété $ag⃗\vec{ag}$ = $ba+b+c\frac{b}{a+b+c}$ $ab⃗\vec{ab}$ + $ca+b+c\frac{c}{a+b+c}$
$ac⃗\vec{ac}$ et ensuite la relation de Chasles en transformant $−12ic⃗\frac{-1}{2}\vec{ic}$ en $12ci⃗\frac{1}{2}\vec{ci}$ .

b) Soit $G_2$ =bar{(A,1);(B,1);(D,2)}, démontrez que $G_2$ est le milieu du segment [ID] puis placez $G_2$ .
→ J'ai trouvé: par associativité $G_2$ =bar{(I,2);(D,2)} donc $G_2$ est le milieu de [ID].

c)Démontrez que $IG_1$ DJ est un parallélogramme. En déduire la position de $G_2$ par rapport aux points $G_1$ et J.
→ J'ai trouvé: $ig1⃗=12cd⃗\vec{ig1} = \frac{1}{2}\vec{cd}$
et $id⃗=12cd⃗\vec{id} = \frac{1}{2}\vec{cd}$ => $ig1⃗=jd⃗\vec{ig1} = \vec{jd}$ donc IG1JD est un parallélogramme. Ensuite j'en ai déduit que $G_2$ est l'isobarycentre de (G,1) et (J,1), donc que $G_2$ =bar{(G,1);(J,1)} car [ID] est une diagonale de $IG_1$ JD et que $G_2$ est le milieu de [ID].

2.Soit m un réel. On note Gm=bar{(A,1);(B,1);(C,m-2);(D,m)} a) Précisez l'ensemble E des valeurs m pour lesquels le barycentre Gm existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E.
→ J'ai trouvé: Gm=bar{(A,1);(B,1);(C,m-2);(D,m)} existe si et seulement si m $≠0\neq 0$ donc E = R \ {0}

b)Démontrez que Gm $∈\in$ (ICD).
→ J'ai trouvé: par associativité que Gm=bar{(I,2);(C,m-2);(D,m)} avec m $≠\neq$ 0 donc Gm $∈\in$
(ICD)

Voilà les deux dernières questions auquelles je n'arrive pas à répondre:

c)Démontrez que le vecteur m $jgm⃗\vec{jgm}$ est constant. (Vous l'avez sans doute compris, je n'arrive pas à faire les indices dans les vecteurs)

d) Déduisez-en l'ensemble F des points $G_m$ lorsque m décrit l'ensemble E.

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Bonjour,

Exprime le vecteur JGm en fonction du vecteur CI.

Bonjour,

Je ne suis pas sûre que vous l'ayez vu (je me trompe peut-être) mais c'est m* $jgm⃗\vec{jgm}$

Si vous l'avez vu, alors je dois exprimer JGm en fonction de CI à l'aide de Gm=bar{(I,2);(C,m-2);(D,m)} ?

Oui,
Poursuis ton calcul.

Voilà, j'ai exprimé JGm e fonction de CI:

→ J'ai utilisé le théorème de réduction des sommes:
$2mi⃗+(m−2)mc⃗+mmd⃗=mg⃗\vec{2mi} + \vec{(m-2)mc} + \vec{mmd} = \vec{mg}$
$2ji⃗+(m−2)jc⃗+mjd⃗=jg⃗2\vec{ji} + (m-2)\vec{jc} + m\vec{jd} = \vec{jg}$ avec M=J
$2ji⃗+mjc⃗+mjd⃗−2jc⃗=jg⃗2\vec{ji} + m\vec{jc} + m\vec{jd} - 2\vec{jc} = \vec{jg}$
$2ji⃗+o⃗−2jc⃗=jg⃗2\vec{ji} + \vec{o} - 2\vec{jc} = \vec{jg}$
$2ji⃗−2ji⃗−2ic⃗=jg⃗2\vec{ji} - 2\vec{ji} - 2\vec{ic} = \vec{jg}$

Donc $−2ic⃗=jg⃗-2\vec{ic} = \vec{jg}$

Comment m'y prendre pour la suite? En fait, je ne sais pas comment démontrer qu'un réel multiplié par un vecteur est "constant". Je ne saisis pas le sens de la question, pourriez-vous m'expliquer s'il vous-plait?

La relation des la première ligne est fausse c'est égal à 2m vect MG.

ah oui ! faute d'inattention, donc cela donne: - $−ic⃗=mjg⃗-\vec{ic} = m\vec{jg}$
.

Que dois-je faire ensuite?

Que peut-on dire du vecteur CI ?

CI est colinéaire à mJG.

Seulement,je ne vois pas ce que je peux en déduire... :razz:

Les points I et C sont fixes donc le vecteur IC est ....

donc le vecteur IC est égal à mJC.. Donc mJC est constant car il sera toujours égal à IC quelque soit m sauf si m=0?

Oui,
Il te reste la question d) Quel est l'ensemble F ?

Je ne comprends pas comment répondre la question.

Je dois déduire de IC=mJG l'ensemble des points Gm lorsque m décrit l'ensemble E... Je ne connais que deux ensembles possibles: la médiatrice ou le cercle. Donc c'est l'un des deux, c'est bien cela? Seulement pour le trouver... Je dois utiliser les normes?

F est peut-être l'ensemble des points Gm situés sur la parallèle à CI ??

Oui c'est une parallèle à Vect CI.

Merci beaucoup ! Bonne continuation !