Les barycentres, problème pour les deux dernières questions d'un exercice devoir maison


  • P

    Bonjour,

    j'ai un devoir maison à rendre pour jeudi 17; j'ai déjà fait le premier exercice qui était sur la géométrie vectorielle, mais j'ai un problème pour les deux dernières questions du deuxième exercice, sur les barycentres.

    Peut-être pourriez-vous m'aider à les comprendre, je vous écris l'énoncé en son entier (peut-être est-ce important):

    On considère ABCD; on note I le milieu de [AB] et J celui de [CD]. 1.a) Soit G1G_1G1=bar{(A,1);(B,1);(C,-1);(D,1)}, Exprimez ig1⃗\vec{ig1}ig1, en fonction de cd⃗\vec{cd}cd. Faites une figure et placez I, J et G1G_1G1.

    → J'ai trouvé: par associativité G1G_1G1=bar{(I,2);(C,-1);(D,1)} car I est lisobarycentre de (A,1) et (B,1). Puis j'ai trouvé ig1⃗\vec{ig1}ig1 = 12\frac{1}{2}21 cd⃗\vec{cd}cd avec la propriété ag⃗\vec{ag}ag = ba+b+c\frac{b}{a+b+c}a+b+cb ab⃗\vec{ab}ab + ca+b+c\frac{c}{a+b+c}a+b+cc
    ac⃗\vec{ac}ac et ensuite la relation de Chasles en transformant −12ic⃗\frac{-1}{2}\vec{ic}21ic en 12ci⃗\frac{1}{2}\vec{ci}21ci.

    b) Soit G2G_2G2=bar{(A,1);(B,1);(D,2)}, démontrez que G2G_2G2 est le milieu du segment [ID] puis placez G2G_2G2.
    → J'ai trouvé: par associativité G2G_2G2=bar{(I,2);(D,2)} donc G2G_2G2 est le milieu de [ID].

    c)Démontrez que IG1IG_1IG1DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G2G_2G2 par rapport aux points G1G_1G1 et J.
    → J'ai trouvé: ig1⃗=12cd⃗\vec{ig1} = \frac{1}{2}\vec{cd}ig1=21cd
    et id⃗=12cd⃗\vec{id} = \frac{1}{2}\vec{cd}id=21cd => ig1⃗=jd⃗\vec{ig1} = \vec{jd}ig1=jd donc IG1JD est un parallélogramme. Ensuite j'en ai déduit que G2G_2G2 est l'isobarycentre de (G,1) et (J,1), donc que G2G_2G2=bar{(G,1);(J,1)} car [ID] est une diagonale de IG1IG_1IG1JD et que G2G_2G2 est le milieu de [ID].

    2.Soit m un réel. On note Gm=bar{(A,1);(B,1);(C,m-2);(D,m)} a) Précisez l'ensemble E des valeurs m pour lesquels le barycentre Gm existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E.
    → J'ai trouvé: Gm=bar{(A,1);(B,1);(C,m-2);(D,m)} existe si et seulement si m≠0\neq 0=0 donc E = R \ {0}

    b)Démontrez que Gm ∈\in (ICD).
    → J'ai trouvé: par associativité que Gm=bar{(I,2);(C,m-2);(D,m)} avec m≠\neq= 0 donc Gm ∈\in
    (ICD)

    Voilà les deux dernières questions auquelles je n'arrive pas à répondre:

    c)Démontrez que le vecteur mjgm⃗\vec{jgm}jgm est constant. (Vous l'avez sans doute compris, je n'arrive pas à faire les indices dans les vecteurs)

    d) Déduisez-en l'ensemble F des points GmG_mGm lorsque m décrit l'ensemble E.

    Je vous remercie d'avance pour votre aide 😄


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Exprime le vecteur JGm en fonction du vecteur CI.


  • P

    Bonjour,

    Je ne suis pas sûre que vous l'ayez vu (je me trompe peut-être) mais c'est m*jgm⃗\vec{jgm}jgm

    Si vous l'avez vu, alors je dois exprimer JGm en fonction de CI à l'aide de Gm=bar{(I,2);(C,m-2);(D,m)} ?


  • N
    Modérateurs

    Oui,
    Poursuis ton calcul.


  • P

    Voilà, j'ai exprimé JGm e fonction de CI:

    → J'ai utilisé le théorème de réduction des sommes:
    2mi⃗+(m−2)mc⃗+mmd⃗=mg⃗\vec{2mi} + \vec{(m-2)mc} + \vec{mmd} = \vec{mg}2mi+(m2)mc+mmd=mg
    2ji⃗+(m−2)jc⃗+mjd⃗=jg⃗2\vec{ji} + (m-2)\vec{jc} + m\vec{jd} = \vec{jg}2ji+(m2)jc+mjd=jg avec M=J
    2ji⃗+mjc⃗+mjd⃗−2jc⃗=jg⃗2\vec{ji} + m\vec{jc} + m\vec{jd} - 2\vec{jc} = \vec{jg}2ji+mjc+mjd2jc=jg
    2ji⃗+o⃗−2jc⃗=jg⃗2\vec{ji} + \vec{o} - 2\vec{jc} = \vec{jg}2ji+o2jc=jg
    2ji⃗−2ji⃗−2ic⃗=jg⃗2\vec{ji} - 2\vec{ji} - 2\vec{ic} = \vec{jg}2ji2ji2ic=jg

    Donc −2ic⃗=jg⃗-2\vec{ic} = \vec{jg}2ic=jg

    Comment m'y prendre pour la suite? En fait, je ne sais pas comment démontrer qu'un réel multiplié par un vecteur est "constant". Je ne saisis pas le sens de la question, pourriez-vous m'expliquer s'il vous-plait?


  • N
    Modérateurs

    La relation des la première ligne est fausse c'est égal à 2m vect MG.


  • P

    ah oui ! faute d'inattention, donc cela donne: -−ic⃗=mjg⃗-\vec{ic} = m\vec{jg}ic=mjg
    .

    Que dois-je faire ensuite?


  • N
    Modérateurs

    Que peut-on dire du vecteur CI ?


  • P

    CI est colinéaire à mJG.

    Seulement,je ne vois pas ce que je peux en déduire... :razz:


  • N
    Modérateurs

    Les points I et C sont fixes donc le vecteur IC est ....


  • P

    donc le vecteur IC est égal à mJC.. Donc mJC est constant car il sera toujours égal à IC quelque soit m sauf si m=0?


  • N
    Modérateurs

    Oui,
    Il te reste la question d) Quel est l'ensemble F ?


  • P

    Je ne comprends pas comment répondre la question.

    Je dois déduire de IC=mJG l'ensemble des points Gm lorsque m décrit l'ensemble E... Je ne connais que deux ensembles possibles: la médiatrice ou le cercle. Donc c'est l'un des deux, c'est bien cela? Seulement pour le trouver... Je dois utiliser les normes? 😕


  • P

    F est peut-être l'ensemble des points Gm situés sur la parallèle à CI ??


  • N
    Modérateurs

    Oui c'est une parallèle à Vect CI.


  • P

    Merci beaucoup ! Bonne continuation !


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