Etude d'une fonction sur R

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pendant les vacances. Je le trouve assez complexe car on ne nous donne pas directement l'expression de f(x)

voici l'exercice :

Données : pour tout x ∈[0;+infini[, f(x) * f'(x) = 1 et f(0) = 1 -> (1)

Dans la 1ère partie il faut déterminer des coordonnées de points avec la méthode d'Euler. Donc là pas de soucis.

Partie B :

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0;+infini[

1.Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [0;+infini[.
2.On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel strictement positif tel que f(a)<0. En déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a]
3.Conclure.

Je vois comment il faut procéder pour faire cette partie (enfin je pense).

-Il faut calculer la limite en +infini, mais comme on a pas l'expression de f(x) je ne pense pas que ce soit possible.
-Ensuite il faut calculer f'(x) et trouver son signe mais même problème que pour la question précédente... On peut quand même voir que f'(x)=1/f(x) mais on ne connait pas le signe de f(x) donc on ne peut pas déduire celui de f'(x) ni faire le tableau de variation et donc pour faire la suite de l'exercice c'est compliqué.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Un raisonnement par l'absurde doit marcher, ici.

Suppose qu'il existe un réel a ∈ [0 ; +∞[ tel que f(a) = 0 , et vérifiant (1) , .....

penses-tu que cela soit possible ?

Je ne vois pas trop ce que s'est un raisonnement par l'absurde... On n'a pas encore vu ça.

Tu m'étonnes ! Tu n'a jamais fait de démonstration en trouvant un contre exemple ! On va faire comme si tu n'en avait jamais entendu parlé !

Si f(a) = 0 que devient f(a) * f '(a) ....?

la fonction f respecte-t-elle la condition (1) !

f(a) * f '(a) deviendrait nul donc ça ne respecterait pas la condition 1 , donc f ne s'annule pas sur [0;+infini[ . C'est ça ?

Oui , c'est bien cela !

Tu vois comment continuer ?

euh ba je ne comprend pas trop car on dit que f ne s'annule pas sur [0;+infini[ et après on nous demande de déduire une solution de f(x)=0 ..

Bonjour,

Pour la question 2 c'est une supposition, afin de pouvoir conclure.

En effet Noemi a raison , relis bien la question , on ne te demande pas de résoudre f(x)=0

Il faut apprendre à lire un énoncé et savoir faire la différence entre

""En déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a]"""
et
""En déduire une sol pour f(x) = 0""

Cette question va te permettre de conclure qu'il est imposible que certains f(x) soient négatifs. Car si c'était le cas , la fonction f s'annuelerait quelque part , ce qui est impossible d'après la question précédente.

On conclut donc que f(x) ne peut jamais être nul et jamais négatif donc f(x) est toujours .....

C'est un exo sur une démonstration en finesse qu'il faut assimiler !

... donc f(x) est toujours positif ! J'crois que j'ai compris ^^ , merci de votre aide en tout cas ! Je n'ai plus qu'à faire la Partie C, je vais y réfléchir et si je bloque, je vous reconsulterai sur ce même "topic".

Joyeux noel !

Bonjour je reviens pour la partie C car je n'y arrive vraiment pas à par la question 1.

Partie C :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction u*u' sur cet intervalle.
En déduire que si f est telle que, pour tout x ∈ [0 ; + infini[ f(x)*f'(x)=1 alors il existe une constante C telle que pour tout x ∈ [0; +infini[ (f(x))² = 2x+C
On rappelle que f(0)=1. Déterminer l'expression de f(x) pour x réel positif.
En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3) f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenue dans la Partie A.
u²/2
.. ?
...

quelqu'un aurait une idée ?

Bonjour,

Pour la question 2, tu appliques le résultat de la question 1
f(x)*f'(x)=1
Par intégration cela donne
f(x)/2 = x + k avec k une constante
que l'on peut écrire f(x) = ...

Noemi
Bonjour,

Pour la question 2, tu appliques le résultat de la question 1
f(x)*f'(x)=1
Par intégration cela donne
f(x)/2 = x + k avec k une constante
que l'on peut écrire f(x) = ...

Je ne vois pas comment vous passez de f(x)*f'(x)=1 à f(x)/2=x+k ?

J'ai noté par intégration.

Une primitive de 1 est ....
une primitive de UU' est ...

Une primitive de 1 est x

donc j'arrive à : f(x)²=2x

Le C je le rajoute comme je veux ?

C est une constante
La dérivée de x + C est 1
donc (f(x))² = 2x + C

Calcule la valeur de C à partir de l'indication f(0) = 1.

a ok ! merci de ton aide

On trouve C=1

Et donc après je peut faire la question 4 Merci !

Zorro

Un raisonnement par l'absurde doit marcher, ici.
Suppose qu'il existe un réel a ∈ [0 ; +∞[ tel que f(a) = 0 , et vérifiant (1) , .....
penses-tu que cela soit possible ?

Un raisonnement par l'absurde serait de supposer l'existence d'un réel a >0 tel que f(a)
≥0 ...

Ici de la condition (1), on en déduit que pour tout réel x≥0, (f(x)>0 et f'(x)>0) ou (f'(x)<0 et f(x)<0)
Si on suppose qu'il existe un réel a>0 tel que f(a)<0,
on a donc pour tout réel x≥0, f'(x) < 0 (et f(x) > 0)
f est alors strictement décroissante sur R+ et en particulier sur [0,a].
Or f(0)=1 et f(a)<0, donc il existe au moins un réel b de [0;a] tel que f(b) = 0.
En contradiction avec f(x)>0 pour tout réel x≥0

Finalement on en déduit qu'il n'existe pas de réel a>0 tel que f(a)<0
autrement dit : f(x)≥0 pour tout réel x>0

Merci pour la réponse détaillée Bertoche

jojolenantais
Merci pour la réponse détaillée Bertoche
Une fois n'est pas coutume
D'une manière générale, exploiter les hypothèses et tirer le fil permet de se rapprocher au plus près de la solution...