Calculs de produits scalaires dans un cube

Bonjour, j'ai du mal avec cet exo. j'aurais besoin d'un coup de main svp. merci

ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
On designe par "a" un reel strictement positif.
L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.

1)a)calculer le produit scalaire EM.EL

b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).

c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a²+2))/(1+a²)

d)calculer l'aire du triangle ELM

e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
a)demontrer que AM.AK=AP.AK

b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)*AK
Demontrer que alpha = a/(a²+2).
En deduire que P appartient au segment [AK].

c)determiner les coordonnees de P

d)Exprimer PK en fonction de AK
En deduire que PK=(a²-a+2)/racine de(a²+2)

3)à l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre ELMK en fonction de a.

Bonsoir,

Joyeux noel

1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
= EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
= 1 + 0 + 0 + 0
= 1

b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)

or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : $EM^2$ = $EA^2$ + $AM^2$ = 1 + $a^2$

de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : $EL^2$ = $EA^2$ + $AL^2$ = 1 + $a^2$

Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
donc 1 = (1 + $a^2$ )(1 + $a^2$ ).cos(MEL)

Par suite cos(MEL) = 1/(1 + $a$ ^2 $^2$

c) comme $cos^2$ (MEL) + $sin^2$ (MEL) = 1
donc $sin^2$ (MEL) = 1 - 1/(1 + $a$ ^2 $^2$ = $a^4$ + $2a^2$ + 1 - 1)/(1 + $a$ ^2 $^2$ = $a^4$ + $2a^2$ )/(1 + $a$ ^2 $^2$

alors sin(MEL) = rad $a^4$ + $2a^2$ )/(1 + $a$ ^2 $^2$ ] = a. $rad[a^2$ + 2] / (1 + $a^2$ )

d) l'aire du triangle ELM = produit vectoriel de EM avec EL = EM . EL .sin(MEL) = (1 + $a^2$ ).(1 + $a^2$ ). a. $rad[a^2$ + 2] / (1 + $a^2$ ) = a(1 + $a^2$ ). $rad[a^2$ + 2] unite d'aire

e) Pour demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
il suffit de demontrer que la droite (AK) est orthogonale a (EM) et a (EL)

en effet : AK.EM = (AC + CK).(EA + AM)
= AC.EA + AC.AM + CK.EA + CK.AM
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

donc (AK) est orthogonale a (EM)

de meme AK.EL = (AC + CK).(EA + AL)
= AC.EA + AC.AL + CK.EA + CK.AL
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

donc (AK) est orthogonale a (EM)

par suite la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)a) AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK car (PM) est prthogonale a (AK) (par hypothese)

b) On a AM.AK = AP.AK
or AM.AK = AM.(AB + BG + GK)
= AM.AB + AM.BG + AM.GK
= a.1.1 + 0 + 0 = a

comme AM.AK = AP.AK
donc AP.AK = a
alpha . $AK)^2$ = a
alpha = a / $AK)^2$

or $AK^2$ = $AB^2$ + $BK^2$

avec $BK^2$ = $a^2$ + 1 (theoreme de Pythagore dans le triangle BCK rectangle en C)

donc $AK^2$ = 1 + $a^2$ + 1
= $a^2$ + 2

d'ou alpha = a / $AK)^2$
= a $a^2$ + 2

comme 0 < a $a^2$ + 2 < 1 et AP = (alpha) x AK

donc P appartient au segment [AK].

c) AP = alpha AK
= alpha (AD + DC + CK)
= alpha(AD + AB + a.AE)

donc P(alpha ; alpha ; a.alpha) ou encore P(a / $a^2$ + 2) ; a / $a^2$ + 2) ; $a^2$ / $a^2$ + 2))

d) PK = PA + AK = -alpha AK + AK = (1 - alpha)AK (egalite vectorielle)

donc PK = (1 - alpha)AK (egalite scaalaire en tant que segment)
PK = (1 - a / $a^2$ + 2)) . $rad(a^2$ + 2)
= $a^2$ - a + 2) / $a^2$ + 2)) . $rad(a^2$ + 2)
= $a^2$ - a + 2). $rad(a^2$ + 2))

Le volume du tétraèdre ELMK = aire du triangle (ELM) . PK
= a(1 + $a^2$ ). $rad[a^2$ + 2]. $a^2$ - a + 2). $rad(a^2$ + 2)) unite de volume

A bientot !!

Joyeux noel

merci beaucoup et joyeux noel également

Bonjour,

En effet le papa Noel il a été gentil avec toi ,

Pas le moindre début de commencement de recherche dans ton exercice , et le voilà résolu !

T'as plus qu'à recopier en essayant de comprendre , car recopier sans piger, cela ne sert à rien !

J'espere que tu n'as pas encore tout recopié, le 1.b) et tout ce qui en dépend est faux Papa Noël a été gentil, mais il ne s'est pas relu

EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2
EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2

Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
donc 1 =
√(1 + a2)
√(1 + a2).cos(MEL)

Par suite cos(MEL) =
1/(1 + a2)

au final qui a la bonne réponse?

Bonjour,

Il me semble que Ellri_ a raison.

En fait, c'est dans un devoir du CNED ça non?

D'ailleurs, le volume V d'un tétraèdre s'écrit
V=(hauteur.aire base)/3

bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour reprendre cet exercice

Bonsoir,

Quelle question te pose problème ?

Noemi
Bonsoir,

Quelle question te pose problème ?
en fait je voudrais reprendre depuis le début parce que je n'ai pas compris grand chose.

1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
= EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
= 1 + 0 + 0 + 0
= 1

pourquoi les produits scalaires EA.AL; AM.EA et AM.AL sont ils égal à 0?

Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux.

Noemi
Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux.

ok.

1)b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)

or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2

de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2

Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
donc 1 = (1 + a2)(1 + a2).cos(MEL)

Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a2)2

en fait, cos(MÊL)=1/(1+a²) ? car 1=√(1+a²)*√(1+a²).cos(MÊL) ?

Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL².
Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée.

Noemi
Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL².
Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée.
1)b) oui. je ne comprend pas pourquoi les vecteurs AM² et AL² valent a² .?

L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE)
donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires
vect AB = vect i
vect AD = vect j
vect AE = vect k

Noemi
L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE)
donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires
vect AB = vect i
vect AD = vect j
vect AE = vect k
ok.

1)d)comment fait on pour calculer l'air du triangle ELM ? je ne comprend pas la méthode de hitman

L'aire du triangle EML : 1/2 produit vectoriel (vect EM, vect EL)
= 1/2 EM EL sin (MEL)

ok.
2)a) comment faut il procéder?

Utilise la relation de Chasles

Noemi
Utilise la relation de Chasles

on part de: AM.AK=(AP+PK).AK ?

AM = AP + PM
AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK

Noemi
AM = AP + PM
AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK

PM.AK=0, Comment sait qu'ils sont orthogonaux?

P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP.

Noemi
P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP.

ok.

alors AP et AK sont des vecteurs confondus comme (AP) orthogonal à (ELM) et (AK) orthogonale à (ELM)?

C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires.
Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a)
donc vect AM. vect AK = ..

Noemi
C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires.
Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a)
donc vect AM. vect AK = ..
...=a ?

2)b) est ce que je pourrais avoir quelques explications, merci

oui
vect AM.vect AK = a×1 + 0×a + 0×1 =

j'ai repris la question 2)b),

AP=λAK AM(a;0;0) AK(1;1;a)

-AM.AK=AP.AK

-AM.AK=a

-donc AP.AK=a

-comme AP=λAk alors :
AM.AK=AP.AK
=λAK.AK
=λAK²

-λAK²=a
λ=a/AK²
λ=a/(1+1+a)²
λ=a/2+a²

c'est correcte ?? (surtout la fin ?)

Une erreur à la fin :
λAK²=a
λ=a/AK²
λ=a/(1+1+a²)
λ=a/(2+a²)

Noemi
Une erreur à la fin :
λAK²=a
λ=a/AK²
λ=a/(1+1+a²)
λ=a/(2+a²)
a oui j'ai oublié de mettre la parenthèse.
sinon, comment fait on pour montrer que p appartient au segment [AK] ?

Tu démontres que a/(a²+2) < 1

d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ?

Tu as
AP = λ AK
Si λ compris entre 0 et 1 (exemple AP = 0,8 AK) , AP est plus petit que AK, donc P compris entre A et K
Si λ >1 ( exemple AP = 2 AK), AP plus grand que AK, donc P n'appartient pas à [AK]

sil2b
d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ?
ok.

a>0
a²+2>0
a²+2>a

donc a/(a²+2)<1 ?

La question est en déduire que P appartient au segment [AK]
Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite
Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK
soit AP/AK < 1.

Noemi
La question est en déduire que P appartient au segment [AK]
Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite
Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK
soit AP/AK < 1.ya pas une possibilité de montrer ça par des encadrements ?

Que veux tu dire ?
Si c'est montrer que : 0 < a $a^2$ + 2) < 1 alors oui