Etude complète d'une fonction

Bonjour,

j'ai un exercice sur les fonctions et je bloque sur quelques questions alors je viens ici pour vous demander de l'aide. Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R privé de 1 par :
f(x) = (2x^3+2x²-10x+5)/(2(x-1)²))
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Montrer qu'il existe deux réels a et B tels que pour tous réels x # 1 :
f(x) = x+a+ b/(x-1)²

Pour cette question j'ai trouvé a = 3 et b = -1/2 est ce la bonne réponse ?

montrer que le point I(1;4) est centre de symétrie pour la courbe C?

J'ai fait f(1-x)+f(1+x) mais je n'arrive pas à 2b donc j'ai fait une erreur de calcul mais je ne sais pas ou ?

Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]1;+ l'infini[.

Je ne pense pas avoir la bonne dérivée donc je n'arrive pas à trouver le tableau de variations.

Etudier la position relative de C et de la droite d'équation y = x+3 sur l'intervalle ]1;+ l'infini[.

Je ne vois pas comment faire

La fonction f admet-elle des extremes sur ]1;+ l'infini[ ? Sur R ?

?

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Les réponses à la question1 sont correctes.
Indique tes calculs pour les questions 2 et 3.

f(1-x)= (-2x^3+8x²-1)/(2x²)

f(x+1)= (2x^3+8x²-1)/(2x²)

donc en fait quand je fait f(x-1)+f(x+1) je trouve (8x²-1)/x²
Le -1 est donc en trop!!!

pour la dérivée je trouve est ce la bonne?

f'(x)= 1-((4x+4)/(2(x-1)²))

ensuite je n'arrive pas à étudier les variations

Pour la question 2, utilise l'expression de f trouvée en 1 et effectue un changement de variables.
Ta dérivée est fausse, vérifie ton calcul.
La dérivée de (x-1)² est 2(x-1).

Je ne vois pas ce que vous voulez dire par changement de variable?

Pour la dérivée j'ai fait en deux parties. Tout d'abord x+3 qui donne donc 1 en dérivée et ensuite la deuxième partie de la fonction qui est 1/(2(x-1)²) et donc je trouve comme dérivée (-4x+4)/(2x²-4x+2)²

Tu ne connais pas la méthode par changement de repère ?
Pour la dérivée, tu peux simplifier.

Non je ne connais pas et pour la dérivée je ne vois pas comment faire

Le point I est-il centre de symétrie ?
Vérifie à la calculatrice.

L'écriture de f(x) est-elle correcte ?

Non il ne semble pas axe de symétrie car la fonction est assez bizarre!

Oui l'écriture de la fonction est la bonne?

Je n'arrive vraiment pas à trouver la bonne dérivée et ça m'empêche de faire le tableau de variation je ne sais pas quoi faire?

Pour la question quatre je trouve que f(x) est au dessous de la droite y = x+3.

Pour la question 5 faut-il utiliser les limites en 1 et +l'infini puis idem sur - l'infini et 1- ?

La dérivée est f'(x) = 1 +1/(x-1)³

Comment trouver ce résultat? A partir de la deuxième forme de f(x) je ne vois pas comment on obtient un cube?

Calcule la dérivée de 1/[2(x-1)²]

ça fait -1/(x-1)³ non?

Oui,

Mais ensuite comment étudier le tableau de variation avec un dénominateur au cube?

Etudie le signe de la dérivée, x varie sur l'intervalle ]1 ; +∞[

D'accord merci et pour ce qui est de la question 2, 4 et 5 qu'en pensez vous?

Question 4), Etudie le signe de f(x) - y

Question 5) Utilise le tableau de variation

Pour la question 4 je trouve que f(x) est au dessous de y.

Pour la question 5 il y a un extreme en 0 uniquement il me semble.

Et pour la question 2 comme j'ai probablement fait une erreur de calcul en faisant f(x+1)+f(x-1)=2b comment je peux faire pour résoudre la question différemment?

Question 4 juste.
question 5 quelles sont les limites en 1+ et + ∞
puis en 1- et -∞

Question 2, la fonction n'admet pas de centre de symétrie sauf dans le cas ou x grand.