Variation d'une suite.

Bonjour j'aimerais un peu d'aide pour pouvoir commencer mon exercice je suis bloqué merci :).

Soit la suite $U_n$ ) définie, pour tout entier naturel n, par :

$U_0$ =3
$U$ _{n+1} $= U$ _n $1+U_n$

Justifier que tous les termes de la suite sont positifs.
Déterminer le sens de variation de la suite.

$U_1$ =3/4
$U_2$ =3/7
...

Si vous pouvez me donner des pistes merci

Bonjour,

Pour le sens de variation, étudie le signe de $U$ _{n+1} $U_n$ .

$U$ n $= U$ {n-1} $1+(U_{n-1}$ ) ??

Exprime le rapport : $U_{n+1}$ / $U_n$
Tu dois trouver que ce rapport est inférieur à 1.

Je remplace $U_{n+1}$ par $U$ n $1+U_n$ et $U_n$ par $U$ {n-1} $1+(U_{n-1}$ ) non ?

Non,

Exprime à partir de la relation de l'énoncé, le rapport $U_{n+1}$ / $U_n$ .

Je suis perdu là comment je peux exprimer le rapport ?

Tu as : Un+1=Un/1+Un
Divise cette expression par $U_n$ .
...

Si on divise par $U_n$ sa donne :

$1 / 1 + U$ _n $U_n$

Non

Tu obtiens :
$U$ _{n+1} $U_n$ = 1 / $1+U_n$ )

Que peut-on dire de 1 / $1+U_n$ ) par rapport à 1 ?

$1/(1+U_n$ ) inférieur ou égale à 1

Oui c'est inférieur ou égal à 1 car $U_n$ > 0
Donc la suite $U_n$ ) est ........

Comment on sait que $U_n$ >0 ?

Si je résume sa donne :

$U$ _{n+1} $/ U$ _n $1/(1+U_n$ )

$U_n$ >0 donc tous les termes de la suite sont positifs.

$U$ {n+1} $U_n$ ≤1 donc $U</em>{n+1}$ < $U_n$ et $U_n$ ) décroissante

J'aimerais juste savoir comme je fais pour montrer que $U_n$ >0

Pour démontrer que pour tout n Un>0 fait une démonstration par récurrence.
Pour le sens de variation, note que Un > 0, Un+1>1 donc 1/Un+1 < 1

T'apelle par quoi une démonstration par récurrence ?

Tu vérifies la propriété pour n = 0 et 1, tu supposes qu'elle est vraie à l'ordre n et tu démontres qu'elle est vraie à l'ordre n+1.

Sa je l'ai pas encore fais en cours donc je suis perdu :s

Dans ce cas, tu dis que u0, u1 positif et Un est la division de deux nombres positifs donc il est positif.

Le raisonnement par récurrence n'est pas au programme mais tu peux en faire un sans le dire

1°) Evidemment si $U_n$ >0 alors $U_{n+1}$ >0
car $U_n$ >0 (numérateur) et $1+U_n$ >1 (dénominteur)

2°) On a $U_0$ >0 donc $U_1$ >0 ( d'après 1°) )
Comme $U_1$ >0, on en déduit que $U_2$ >0 (d'après 1°) )
De même, comme $U_2$ >0, on a $U_3$ >0
etc...

Ainsi, tous les termes de la suite sont strictement positifs