Problèmes ouvert utilisant les limites, les fonctions...



  • Soit g une fonction dérivable sur ]0;1[ telle que :

    1. lim g(x) = lim g(x) = 1/2
      x -> 0 x -> 1
      x > 0 x < 1

    2. Pour tout réel x de ]0;1[, g'(x)<1

    La question est : Quel est le nombre de solution de l'équation g(x)/x=1 dans ]0;1[ ?

    Je ne sais pas par quoi commencer, j'ai remplis un tableau de variation mais je ne sais pas ou s'annule la fonction, ou elle est croissante et décroissante...
    Bref je ne sait pas quoi faire...
    Merci de votre aide !


  • Modérateurs

    Bonjour, ( A ne pas oublier !!!)

    Si g(x)/x = 1, g(x) = ....

    Merci pour le rectificatif Bertoche, Il faut étudier les variations de la fonction f(x) = g(x) -x



  • soit f la fonction définie sur ]0;1[ par f(x)=g(x)-x
    étudier la fonction f (limites, dérivée, variations...)
    en remarquant que dans ]0;1[ g(x)/x=1 ⇔ f(x)=0, conclure !



  • Noemi
    Bonjour, ( A ne pas oublier !!!)

    Si g(x)/x = 1, g(x) = ....
    et g'(x) = ....
    Or ....

    oh résoudre une équation ne signifie pas que g(x)=x sur ]0;1[ !!!



  • Merci beaucoup en fait j'ai trouvé que g(x)=x et f(x)=g(x)-x
    Ensuite, j'ai appliqué le TVI je trouve donc qu'il existe au moins une solution mais comment trouver le nombre exacte de solution?



  • Je trouve lim f(x) = 1/2 et lim f(x) = -1/2
    x->0 x->1

    f'(x) = g'(x)-1 or g'(x)<1
    donc f'(x)<0

    x 0 1
    g'(x) -
    g(x) est décroissante sur ]0;1[



  • baboun73
    Je trouve lim f(x) = 1/2 et lim f(x) = -1/2
    x-> 0 x -> 1

    f'(x) = g'(x)-1 or g'(x) < 1
    donc f'(x) < 0

    x 0 1

    g'(x) -

    g(x) est décroissante sur ]0;1[

    tu confonds g et f dans ton tableau...
    ensuite tu appliques le théorème de la bijection à f.



  • baboun73
    Merci beaucoup en fait j'ai trouvé que g(x)=x et f(x)=g(x)-x
    Ensuite, j'ai appliqué le TVI je trouve donc qu'il existe au moins une solution mais comment trouver le nombre exacte de solution?

    non sur ]0;1[ g(x)≠x


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