Démontrer des propositions à l'aide des relations sur les vecteurs

[jusdepomme78]

Bonjour,

J'ai vraiment du mal, sur mon devoir maison de maths donné pour les vacances.
Donc, voilà, j'aimerais si possible que quelqu'un puisse m'aider ou me lancer sur une piste!!

Ci dessous, le DM

Soit ABC un triangle non aplati, et non équilatéral, et soient A';B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit à ce triangle, c'est à dire le point d'intersection de ses trois médiatrices. (Toutes les longueurs qui vont suivre sont à considérer comme vecteur étant donné que je suis incapable de foutre la petite flèche sur les majuscules

Première partie

Soit H défini par l'égalité vectorielle suivante :

OH=OA+OB+OC

1°) Montrer que OB+OC=2.OA, puis que AH=2.OA
2°) En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
3°) En procédant de même, démontrer que (BH) et (AC), puis que (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
4°) En déduire la nature du point H.

Et il y a une deuxieme partie mais je prefere d'abord réussir celle-ci...

J'ai deja réussi à faire la première moitié de la première question et après BLOQUÉE!!

Je sais que c'est un peu long donc merci si vous avez deja pris le temps de le lire...
Merci beaucoup par avance
A très bientôt

[Noemi]

Bonjour,

C'est exercice ressemble au post "Droite d'Euler", A consulter.

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

[jusdepomme78]

Merci beaucoup!!
D'accord je vais aller le voir

Donc pour demontrer que Ob+OC=2OA
J'ai utilisé le fait que A' soit le milieu de BC
Donc BC=BA'+A'C (Charles)
BC=2BA'

Donc BA'+A'C=BA'+BA'
Donc A'C=BA'
DOnc A'C +A'B=O

Soit O un point quelconque du plan
A'C+A'B=O
donc A'O+OA'+OC+A'O+OA'+OB=OA+OA
DONC OC+OB=2OA

J'ai raccourci les calculs...
Voilà pour la première partie de la première question.

Ensuite pour la deuxième partie, je suis partie de AH mais je n'arrive pas à trouver 2OA

(Ce sont tous des vecteurs)

[Noemi]

C'est vect OB + vect OC = 2 vect OA ou 2 vect OA' ?

Je ne comprends pas :
A'C+A'B=O
donc A'O+OA'+OC+A'O+OA'+OB=OA+OA
DONC OC+OB=2OA

[jusdepomme78]

Oups!! j'ai mal recopier c'est bien OC+OB=2OA'
De meme pour A'O+OA'+OC+A'O+OA'+OB=OA'+OA'
Donc OC+OB=2OA'

Voila
Et pour la deuxieme partie, j'ai tenter quelque chose...

On a OH=OA+OB+OC
Donc OA+OB+OC+HO=O
Donc HA+OB+OC=O
Donc AH=OB+OC

Or comme nous l'avons démontrer dans la partie precedente
OB+OC=2OA'
Donc AH=2OA'

C'est ça??

En revanche je suis vraiment bloquée pour la suite... Même après avoir lu l'autre topic... Je ne comprends pas comment faire...

[Noemi]

La première démonstration est fausse.

[jusdepomme78]

Pourquoi??

[Noemi]

Car pas assez détaillé
OC + OB =
A'O+OA'+OC+A'O+OA'+OB =
A'C + OA' + A'B + OA' =
2OA' car A' milieu de [BC] (soit A'C + A'B = 0)

On aurait pu écrire :
OC + OB =
OA' + A'C + OA' + A'B
= 2OA' car A' milieu de [BC] (soit A'C + A'B = 0)

[jusdepomme78]

D'accord mais c'est tout de même juste non??

Et pour la deuxième question je ne vois pas du tout comment faire... Pouvez vous m'aider??

[Noemi]

Que peut-on dire de (OA') par rapport à (BC) ?

[jusdepomme78]

Et bien on peut dire que OA' est perpendiculaire à Bc puisque OA' est a mediatrice de BC... Mais je ne vois pas pourquoi la question demande d'en deduire, il n'y a pas de rapport, si??

[Noemi]

Oui
Et comme AH = 2 OA, alors ....

[jusdepomme78]

Je ne vois pas...

Mais j'ai l'impression que ma figure est fausse... est ce que H est sur la droite BC??

[jusdepomme78]

Je ne vois pas...
Mais j'ai l'impression que ma figure est fausse... est ce que H est sur la droite BC??

[Noemi]

Non, H n'est pas sur la droite (BC)
Comme vect AH = 2 vect OA' alors les vecteurs AH et OA' sont ......
et comme la droite (OA') et perpendiculaire à la droite (BC)
alors ....

[jusdepomme78]

C'est bon j'ai refait ma figure et je l'ai enfin réussite !!
Comme vect AH = 2 vect OA' alors les vecteurs AH et OA' sont parallèles
et comme la droite (OA') est perpendiculaire à la droite (BC) alors (AH) est perpendiculaire à (BC).
Voila c'est ça??

Pour la question 3 j'ai fais la même chose en démontrant que BH= 2OB' donc que les vect BH et OB' sont parallèles et comme la droite OB' est perpendiculaire à la droite AC alors BH est perpendiculaire à AC.

De meme pour HC=2AO donc que les vect HC et C'O sont parallèles et comme la droite C'O est perpendiculaire à la droite AB alors HC est perpendiculaire à AB.

Mais dois-je démontrer que HC=2AO et BH=2OB' ou nous sommes censés le supposer...??

[Noemi]

Oui,
il faut démontrer que CH=2OC' et BH=2OB'.

[jusdepomme78]

D'accord MERCI !!

Et pour la question 4, je n'ai aucune idée de la nature du point H puisqu'il ne représente aucun point d'intersection... SOS

[Noemi]

Chaque droite issue d'un sommet du triangle et qui passe par le point H est perpendiculaire au côté opposé au sommet donc ......

Bonne nuit.

[jusdepomme78]

H est l'orthocentre au triangle ABC ??

[Noemi]

Oui
c'est la réponse.

[jusdepomme78]

Je vous remercie beaucoup!!

Voila la seconde partie... qui me parait beaucoup plus difficile...

Soit G le point défini par l'égalité vectorielle suivante :

GA + GB + GC = O (Vecteur nul)

1. Montrer que AG = 2/3.AA'. Que peut on en déduire pour le point G ?
2. Raisonnant de même à partir de deux autre égalités similaires, établir la nature du point G.
3. Montrer que pour tout point M du plan, MA + MC + MC = 3.MG
4. En déduire que les points O, G et H sont alignés, ainsi qu'une relation exprimant la position relative de ces trois points.

Dans un triangle non équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés. La droite passant par ces trois points est appelée droite d'Euler du triangle.

Que peut on dire des points O, G et H dans le cas ou le triangle ABC est équilatéral ?

J'ai réussi à placer le point G, j'ai pu donc remarquer que G était le centre de gravité du triangle ABC mais je ne vois absolument pas comment répondre aux questions...

[Noemi]

1. Utilise la relation de Chasles.

[jusdepomme78]

Je ne vois pas comment faire car si je pars de GA+GB+GC=O
à la fin cela me fait AG=GB+GC...

[Noemi]

Il faut utiliser le point A'
vect GB = vect GA + vect AA' + vect A'B
vect GC = ...

[jusdepomme78]

Merci donc cela donne
GB+GC+GA= GA+AA'+A'B+GA+AA'+A'C+BA+GA+AA'+A'B?

[jusdepomme78]

Ah non je me suis trompé cela donne GB+GC+GA= GA+AA'+A'B+GA+AA'+A'C+GA
= 2AA'+3GA+A'B+A'C
3AG=2AA'+vect O
Donc AG=2AA'/3

On peut donc en deduire que le point G est le centre de gravité du triangle ABC
C'est ça?

[Noemi]

Non,
GB+GC+GA= GA+AA'+A'B+GA+AA'+A'C+GA

[jusdepomme78]

Je ne vois pas mon erreur...

[Noemi]

Tu as rectifié dans ton dernier message.
La réponse est correcte.

[jusdepomme78]

Ok merci !!

Donc pour la question 2,

GB+GA+GC=GB+AB'+GB+BB'+CB'+GB+BB'
=3GB+2BB'+AB'+CB'
BG=2BB'/2

ET

GB+GA+GC=GC+AC'+GC+CC'+BC'+GC+CC'
=3GC+2CC'+AC'+BC'
CG=2CC'/3

Mais je ne vois pas la difference entre la question de 1) et celle de la 2) ??

[Luntham]

BG = 2BB'/3

Pas de différence pour le calcul entre la question 1 et 2.
Quelle est ta réponse à la question : Nature du point G ?

[jusdepomme78]

Ah oui merci !

Je n'ai pas repondu à la question du 1) "Que peut on en déduire pour le point G ?"
Car je ne vois pas la difference avec la 2) "établir la nature du point G. " dont la réponse est je pense le centre de gravité du triangle ABC.

[Luntham]

Tu as AG = 2/3 AA'

Le point G est situé au 2/3 de AA' et AA' est la médiane du triangle issue du sommet A, donc tu conclus que le point G ...

[jusdepomme78]

Je ne vois toujours pas... C'est le centre de gravité ??

[Luntham]

Oui c'est le centre de gravité. Recherche les propriétés du centre de gravité pour un triangle.

[jusdepomme78]

J'ai trouvé:

Le centre de gravité se trouve aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Ce point de concours est appelé le centre de gravité du triangle.

Mais je ne vois pas ce que l'on peut en déduire pour le point G simplement en sachant que AG=2AA'/3 dans la premiere question...

[Luntham]

Tu as le rapport 2/3.
A' est le milieu de BC ?
Donc AA' est la médiane issue du sommet A ?

[jusdepomme78]

On peut donc dire que le point G se situe sur la mediane AA' issue du sommet A

AAAAAH D'ACCORD!! Merci beaucoup !!
Ca me paraissait évident puisqu'on le voyait sur le dessin...

En revanche, pour les questions suivantes, je n'ai aucune idée de la façon dont les démontrer...

[Luntham]

Pour la relation suivante , tu utilises la relation de Chasles en introduisant le point G dans la relation
vect MA + vect MB + vect MC =
vect MG + vect GA + ......